微分積分学準備例

$\sqrt{3 z^{2} + 16} = \sqrt{2 z^{2} - 8 z}$

ステップ 1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{3 z^{2} + 16}}^{2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

ステップ 2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 z^{2} + 16}$ を ${(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${({(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

${({(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(3 z^{2} + 16)}^{1} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

${\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$2 z$ を $2 z^{2} - 8 z$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.1.1.1

$2 z$ を $2 z^{2}$ で因数分解します。

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z (z) - 8 z}}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.2

$2 z$ を $- 8 z$ で因数分解します。

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z (z) + 2 z (- 4)}}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.3

$2 z$ を $2 z (z) + 2 z (- 4)$ で因数分解します。

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z (z - 4)}}^{2}$

ステップ 2.3.1.2

${\sqrt{2 z (z - 4)}}^{2}$ を $2 z (z - 4)$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 z (z - 4)}$ を ${(2 z (z - 4))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 z^{2} + 16 = {({(2 z (z - 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 2.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 2.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{1}$

ステップ 2.3.1.2.5

簡約します。

$3 z^{2} + 16 = 2 z (z - 4)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$3 z^{2} + 16 = 2 z \cdot z + 2 z \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.4

指数を足して $z$ に $z$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.4.1

$z$ を移動させます。

$3 z^{2} + 16 = 2 (z \cdot z) + 2 z \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.4.2

$z$ に $z$ をかけます。

$3 z^{2} + 16 = 2 z^{2} + 2 z \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.5

$- 4$ に $2$ をかけます。

$3 z^{2} + 16 = 2 z^{2} - 8 z$

ステップ 3

$z$ について解きます。

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ステップ 3.1

$z$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$2 z^{2} - 8 z = 3 z^{2} + 16$

ステップ 3.2

$z$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $3 z^{2}$ を引きます。

$2 z^{2} - 8 z - 3 z^{2} = 16$

ステップ 3.2.2

$2 z^{2}$ から $3 z^{2}$ を引きます。

$- z^{2} - 8 z = 16$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$- z^{2} - 8 z - 16 = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ を $- z^{2} - 8 z - 16$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1

$- 1$ を $- z^{2}$ で因数分解します。

$- (z^{2}) - 8 z - 16 = 0$

ステップ 3.4.1.2

$- 1$ を $- 8 z$ で因数分解します。

$- (z^{2}) - (8 z) - 16 = 0$

ステップ 3.4.1.3

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$- (z^{2}) - (8 z) - 1 \cdot 16 = 0$

ステップ 3.4.1.4

$- 1$ を $- (z^{2}) - (8 z)$ で因数分解します。

$- (z^{2} + 8 z) - 1 \cdot 16 = 0$

ステップ 3.4.1.5

$- 1$ を $- (z^{2} + 8 z) - 1 (16)$ で因数分解します。

$- (z^{2} + 8 z + 16) = 0$

ステップ 3.4.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.4.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$- (z^{2} + 8 z + 4^{2}) = 0$

ステップ 3.4.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 z = 2 \cdot z \cdot 4$

ステップ 3.4.2.3

多項式を書き換えます。

$- (z^{2} + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

ステップ 3.4.2.4

$a = z$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- {(z + 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.5

$- {(z + 4)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- {(z + 4)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- {(z + 4)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{{(z + 4)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2

${(z + 4)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(z + 4)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 3.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

${(z + 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.6

$z + 4$ が $0$ に等しいとします。

$z + 4 = 0$

ステップ 3.7

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$z = - 4$

微分積分学準備 例

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