微分積分学準備例

$\frac{(x^{2} - 9 x)}{x - 5} < 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} - 9 x = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 2

$x$ を $x^{2} - 9 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - 9 x = 0$

ステップ 2.2

$x$ を $- 9 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 9 = 0$

ステップ 2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 9$ で因数分解します。

$x (x - 9) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 9 = 0$

ステップ 4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5

$x - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$x - 9 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 6

最終解は $x (x - 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 9$

ステップ 7

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0, 9$

$x = 5$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = 0, 9, 5$

ステップ 10

$\frac{x^{2} - 9 x}{x - 5}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{x^{2} - 9 x}{x - 5}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 5 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 5$

$5 < x < 9$

$x > 9$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{{(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2}{(- 2) - 5} < 0$

ステップ 12.1.3

左辺 $- 3.\overline{142857}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 12.2

区間 $0 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $0 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{{(2)}^{2} - 9 \cdot 2}{(2) - 5} < 0$

ステップ 12.2.3

左辺 $4.\overline{6}$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.3

区間 $5 < x < 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.3.1

区間 $5 < x < 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 7$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $7$ で置き換えます。

$\frac{{(7)}^{2} - 9 \cdot 7}{(7) - 5} < 0$

ステップ 12.3.3

左辺 $- 7$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 12.4

区間 $x > 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.4.1

区間 $x > 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 12$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $12$ で置き換えます。

$\frac{{(12)}^{2} - 9 \cdot 12}{(12) - 5} < 0$

ステップ 12.4.3

左辺 $5.\overline{142857}$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 5$ 偽

$5 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

$x < 0$ 真

$0 < x < 5$ 偽

$5 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $5 < x < 9$

ステップ 14

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, 0) \cup (5, 9)$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例