微分積分学準備例

$\frac{1}{\tan (θ) + \cot (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\csc (θ)}$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1}{\tan (θ) + \cot (θ)}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

商の恒等式を利用して $\tan (θ)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cot (θ)}$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\cot (θ)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

ステップ 3.1.2

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\cos (θ) \sin (θ)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.1.3.1

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ に $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.1.3.2

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ に $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)}}$

$\frac{1}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

ステップ 3.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{\sin (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

ステップ 3.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.5.1

$\sin (θ) \sin (θ)$ を掛けます。

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ステップ 3.1.5.1.1

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{1} \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

ステップ 3.1.5.1.2

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1} + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

ステップ 3.1.5.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

ステップ 3.1.5.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

ステップ 3.1.5.2

$\cos (θ) \cos (θ)$ を掛けます。

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ステップ 3.1.5.2.1

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{1} \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

ステップ 3.1.5.2.2

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{1} {\cos (θ)}^{1}}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

ステップ 3.1.5.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

ステップ 3.1.5.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

ステップ 3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{\cos (θ) \sin (θ)}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$

ステップ 3.3

$\frac{\cos (θ) \sin (θ)}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ)}{\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}$

ステップ 4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ)}{1}$

ステップ 5

$\cos (θ) \sin (θ)$ を $1$ で割ります。

$\cos (θ) \sin (θ)$

ステップ 6

$\cos (θ) \sin (θ)$ を $\frac{\cos (θ)}{\csc (θ)}$ に書き換えます。

$\frac{\cos (θ)}{\csc (θ)}$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{\tan (θ) + \cot (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\csc (θ)}$ は公式です

微分積分学準備 例

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