微分積分学準備例

$x^{2} - y^{2} - 6 x - 4 y - 11 = 0$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $11$ を足します。

$x^{2} - y^{2} - 6 x - 4 y = 11$

ステップ 1.2

$x^{2} - 6 x$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 3}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.4

$- 3$ を $1$ で割ります。

$d = - 3$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{36}{4}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$36$ を $4$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 9$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - 9$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $9$ を引きます。

$e = - 9$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x - 3)}^{2} - 9$ に代入します。

${(x - 3)}^{2} - 9$

ステップ 1.3

${(x - 3)}^{2} - 9$ を方程式 $x^{2} - y^{2} - 6 x - 4 y = 11$ の中の $x^{2} - 6 x$ に代入します。

${(x - 3)}^{2} - 9 - y^{2} - 4 y = 11$

ステップ 1.4

両辺に $9$ を加えて、 $- 9$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - 3)}^{2} - y^{2} - 4 y = 11 + 9$

ステップ 1.5

$- y^{2} - 4 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.2.1

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

$\frac{- 2}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot - 2$

ステップ 1.5.3.2.2

$- 1 \cdot - 2$ を $- - 2$ に書き換えます。

$d = - - 2$

ステップ 1.5.3.2.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$d = 2$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1

${(- 4)}^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.4.2.1.1.2

積の法則を $- 1 (4)$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.4.2.1.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.4.2.1.1.4

$4^{2}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.4.2.1.1.5

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.4.2.1.1.6

$\frac{4}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$- (- 1 \cdot 4)$ を掛けます。

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ステップ 1.5.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - - 4$

ステップ 1.5.4.2.1.2.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$e = 0 + 4$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$e = 4$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(y + 2)}^{2} + 4$ に代入します。

$- {(y + 2)}^{2} + 4$

ステップ 1.6

$- {(y + 2)}^{2} + 4$ を方程式 $x^{2} - y^{2} - 6 x - 4 y = 11$ の中の $- y^{2} - 4 y$ に代入します。

${(x - 3)}^{2} - {(y + 2)}^{2} + 4 = 11 + 9$

ステップ 1.7

両辺に $4$ を加えて、 $4$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - 3)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 11 + 9 - 4$

ステップ 1.8

$11 + 9 - 4$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$11$ と $9$ をたし算します。

${(x - 3)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 20 - 4$

ステップ 1.8.2

$20$ から $4$ を引きます。

${(x - 3)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 16$

ステップ 1.9

各項を $16$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 4$

$b = 4$

$k = - 2$

$h = 3$

ステップ 4

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm 1 \cdot (x - (3)) - 2$

ステップ 5

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

括弧を削除します。

$y = 1 \cdot (x - (3)) - 2$

ステップ 5.2

$1 \cdot (x - (3)) - 2$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$x - (3)$ に $1$ をかけます。

$y = x - (3) - 2$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y = x - 3 - 2$

ステップ 5.2.2

$- 3$ から $2$ を引きます。

$y = x - 5$

ステップ 6

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

括弧を削除します。

$y = - 1 \cdot (x - (3)) - 2$

ステップ 6.2

$- 1 \cdot (x - (3)) - 2$ を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y = - 1 \cdot (x - 3) - 2$

ステップ 6.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = - 1 x - 1 \cdot - 3 - 2$

ステップ 6.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = - x - 1 \cdot - 3 - 2$

ステップ 6.2.1.4

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$y = - x + 3 - 2$

ステップ 6.2.2

$3$ から $2$ を引きます。

$y = - x + 1$

ステップ 7

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = x - 5, y = - x + 1$

ステップ 8

漸近線は $y = x - 5$ と $y = - x + 1$ です。

漸近線： $y = x - 5, y = - x + 1$

ステップ 9

微分積分学準備 例

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