微分積分学準備例

$16 x^{2} + 80 x + 16 y^{2} - 112 y + 247 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $247$ を引きます。

$16 x^{2} + 80 x + 16 y^{2} - 112 y = - 247$

ステップ 2

方程式の両辺を $16$ で割ります。

$x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$

ステップ 3

$x^{2} + 5 x$ の平方完成。

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ステップ 3.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 5$

$c = 0$

ステップ 3.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 3.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{5}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$d = \frac{5}{2}$

ステップ 3.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{25}{4}$

ステップ 3.4.2.2

$0$ から $\frac{25}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{25}{4}$

ステップ 3.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ に代入します。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

ステップ 4

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ を方程式 $x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$ の中の $x^{2} + 5 x$ に代入します。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$

ステップ 5

両辺に $\frac{25}{4}$ を加えて、 $- \frac{25}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4}$

ステップ 6

$y^{2} - 7 y$ の平方完成。

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ステップ 6.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 7$

$c = 0$

ステップ 6.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 6.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 6.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 7}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$d = \frac{- 7}{2}$

ステップ 6.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{7}{2}$

ステップ 6.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 6.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 7)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{49}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{49}{4}$

ステップ 6.4.2.2

$0$ から $\frac{49}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{49}{4}$

ステップ 6.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ に代入します。

${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$

ステップ 7

${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ を方程式 $x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$ の中の $y^{2} - 7 y$ に代入します。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4} = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4}$

ステップ 8

両辺に $\frac{49}{4}$ を加えて、 $- \frac{49}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4} + \frac{49}{4}$

ステップ 9

$- \frac{247}{16} + \frac{25}{4} + \frac{49}{4}$ を簡約します。

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ステップ 9.1

分数をまとめます。

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ステップ 9.1.1

公分母の分子をまとめます。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247}{16} + \frac{25 + 49}{4}$

ステップ 9.1.2

$25$ と $49$ をたし算します。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247}{16} + \frac{74}{4}$

ステップ 9.2

各項を簡約します。

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ステップ 9.2.1

分数の前に負数を移動させます。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{74}{4}$

ステップ 9.2.2

$74$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1

$2$ を $74$ で因数分解します。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 (37)}{4}$

ステップ 9.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.2.2.2.2

共通因数を約分します。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.2.2.2.3

式を書き換えます。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37}{2}$

ステップ 9.3

$\frac{37}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37}{2} \cdot \frac{8}{8}$

ステップ 9.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 9.4.1

$\frac{37}{2}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37 \cdot 8}{2 \cdot 8}$

ステップ 9.4.2

$2$ に $8$ をかけます。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37 \cdot 8}{16}$

ステップ 9.5

公分母の分子をまとめます。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247 + 37 \cdot 8}{16}$

ステップ 9.6

分子を簡約します。

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ステップ 9.6.1

$37$ に $8$ をかけます。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247 + 296}{16}$

ステップ 9.6.2

$- 247$ と $296$ をたし算します。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{49}{16}$

ステップ 10

円の形です。この形を利用して円の中心と半径を決定します。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

ステップ 11

この円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $r$ は円の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$r = \frac{7}{4}$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{7}{2}$

ステップ 12

円の中心は $(h, k)$ で求められます。

中心： $(- \frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

ステップ 13

これらの値は円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- \frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

半径： $\frac{7}{4}$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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