微分積分学準備例

$x^{2} + 4 x + 6 y - 2 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の左辺に $y$ を取り出します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$4 x + 6 y - 2 = - x^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

$6 y - 2 = - x^{2} - 4 x$

ステップ 1.1.1.3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$6 y = - x^{2} - 4 x + 2$

ステップ 1.1.2

$6 y = - x^{2} - 4 x + 2$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$6 y = - x^{2} - 4 x + 2$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 y}{6} = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 y}{6} = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 4$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$2$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{6} + \frac{2}{6}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{2 (3)} + \frac{2}{6}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 3} + \frac{2}{6}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{2}{6}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2}{6}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2 (1)}{6}$

ステップ 1.1.2.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.4.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.1.2.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.1.2.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 1.2

$- \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{6}$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (\frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.3.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.3.2.3.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

ステップ 1.2.3.2.4

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{\frac{1}{6}}$ をかけます。

$d = \frac{1}{3 (\frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.3.2.5

$3$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$d = \frac{1}{\frac{3}{6}}$

ステップ 1.2.3.2.6

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.6.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$d = \frac{1}{\frac{3 (1)}{6}}$

ステップ 1.2.3.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.6.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.3.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.3.2.6.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.3.2.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = 1 \cdot 2$

ステップ 1.2.3.2.8

$2$ に $1$ をかけます。

$d = 2$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.3

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.6

$\frac{4}{9}$ に $1$ をかけます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- 4 (\frac{1}{6})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 4}{6}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.3.1

$- 4$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 2}{3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- \frac{2}{3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4}{9} (- \frac{3}{2}))$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.5.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

ステップ 1.2.4.2.1.5.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

ステップ 1.2.4.2.1.5.3

共通因数を約分します。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

ステップ 1.2.4.2.1.5.4

式を書き換えます。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{9} \cdot - 3)$

ステップ 1.2.4.2.1.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.6.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3 (3)} \cdot - 3)$

ステップ 1.2.4.2.1.6.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

ステップ 1.2.4.2.1.6.3

共通因数を約分します。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

ステップ 1.2.4.2.1.6.4

式を書き換えます。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3} \cdot - 1)$

ステップ 1.2.4.2.1.7

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{2 \cdot - 1}{3}$

ステップ 1.2.4.2.1.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{- 2}{3}$

ステップ 1.2.4.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$e = \frac{1}{3} - - \frac{2}{3}$

ステップ 1.2.4.2.1.10

$- - \frac{2}{3}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.2.1.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = \frac{1}{3} + 1 (\frac{2}{3})$

ステップ 1.2.4.2.1.10.2

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$e = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

ステップ 1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{1 + 2}{3}$

ステップ 1.2.4.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$e = \frac{3}{3}$

ステップ 1.2.4.2.4

$3$ を $3$ で割ります。

$e = 1$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{1}{6} {(x + 2)}^{2} + 1$ に代入します。

$- \frac{1}{6} {(x + 2)}^{2} + 1$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - \frac{1}{6} \cdot {(x + 2)}^{2} + 1$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{6}$

$h = - 2$

$k = 1$

ステップ 3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 2, 1)$

ステップ 4

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 4.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 4.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

ステップ 4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{6})}$

ステップ 4.3.2

$4$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{4}{6}}$

ステップ 4.3.3

$4$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{6}}$

ステップ 4.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

ステップ 4.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

ステップ 4.3.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (1 (\frac{3}{2}))$

ステップ 4.3.5

$\frac{3}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{2}$

ステップ 5

焦点を求めます。

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ステップ 5.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 5.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2, - \frac{1}{2})$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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