微分積分学準備例

${(2 (\cos (240 °) + i \sin (240 °)))}^{4}$

ステップ 1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

${(2 (- \cos (60) + i \sin (240 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.2

$\cos (60)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

${(2 (- \frac{1}{2} + i \sin (240 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

${(2 (- \frac{1}{2} + i (- \sin (60))))}^{4}$

ステップ 1.1.4

$\sin (60)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

${(2 (- \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})))}^{4}$

ステップ 1.1.5

$i$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

${(2 (- \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

ステップ 1.2

項を簡約します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

${(2 (- \frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

ステップ 1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

${(2 (\frac{- 1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

ステップ 1.2.2.2

共通因数を約分します。

${(2 (\frac{- 1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

ステップ 1.2.2.3

式を書き換えます。

${(- 1 + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

ステップ 1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

$- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

${(- 1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

ステップ 1.2.3.2

共通因数を約分します。

${(- 1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

ステップ 1.2.3.3

式を書き換えます。

${(- 1 - i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 2

二項定理を利用します。

${(- 1)}^{4} + 4 {(- 1)}^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 + 4 {(- 1)}^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.2

指数を足して ${(- 1)}^{3}$ に $- 1$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1

$- 1$ を移動させます。

$1 + 4 (- {(- 1)}^{3}) (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.2.2

$- 1$ に ${(- 1)}^{3}$ をかけます。

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ステップ 3.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$1 + 4 ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3}) (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + 4 {(- 1)}^{1 + 3} (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.2.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$1 + 4 {(- 1)}^{4} (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.3

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 + 4 \cdot 1 (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.6

$6$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.1.7.1

積の法則を $- i \sqrt{3}$ に当てはめます。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.7.2

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.9

$i^{2}$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.10

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.11

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.11.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.11.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.11.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.11.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.11.4.1

共通因数を約分します。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.11.4.2

式を書き換えます。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{1}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.11.5

指数を求めます。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.12

$6 (- 1 \cdot 3)$ を掛けます。

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ステップ 3.1.12.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.12.2

$6$ に $- 3$ をかけます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.13

$4$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.14

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.14.1

積の法則を $- i \sqrt{3}$ に当てはめます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 ({(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.14.2

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 ({(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.15

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.16

$i^{2}$ を因数分解します。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.17

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.18

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- - i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.19

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (1 i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.20

$i$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.21

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{3^{3}}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.22

$3$ を $3$ 乗します。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{27}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.23

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.23.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{9 (3)}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.23.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.24

累乗根の下から項を取り出します。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i (3 \sqrt{3})) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.25

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (3 \cdot i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.26

$3$ に $- 4$ をかけます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 (i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

ステップ 3.1.27

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.1.27.1

積の法則を $- i \sqrt{3}$ に当てはめます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- i)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

ステップ 3.1.27.2

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

ステップ 3.1.28

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 1 i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

ステップ 3.1.29

$i^{4}$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

ステップ 3.1.30

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.30.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} {\sqrt{3}}^{4}$

ステップ 3.1.30.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{4}$

ステップ 3.1.30.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}$

ステップ 3.1.31

${\sqrt{3}}^{4}$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}$

ステップ 3.1.32

${\sqrt{3}}^{4}$ を $3^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.32.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}$

ステップ 3.1.32.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

ステップ 3.1.32.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}$

ステップ 3.1.32.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.32.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.1.32.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.32.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

ステップ 3.1.32.4.2.2

共通因数を約分します。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

ステップ 3.1.32.4.2.3

式を書き換えます。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}$

ステップ 3.1.32.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{2}$

ステップ 3.1.33

$3$ を $2$ 乗します。

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 9$

ステップ 3.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ から $18$ を引きます。

$4 i \sqrt{3} - 17 - 12 i \sqrt{3} + 9$

ステップ 3.2.2

$4 i \sqrt{3}$ から $12 i \sqrt{3}$ を引きます。

$- 8 i \sqrt{3} - 17 + 9$

ステップ 3.2.3

式を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$- 17$ と $9$ をたし算します。

$- 8 i \sqrt{3} - 8$

ステップ 3.2.3.2

$- 8 i \sqrt{3}$ と $- 8$ を並べ替えます。

$- 8 - 8 i \sqrt{3}$

微分積分学準備 例

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