微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + x}$

ステップ 1

$\frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} - 2 x^{2} + x = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{3} - 2 x^{2} + x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + x = 0$

ステップ 2.1.1.2

$x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x = 0$

ステップ 2.1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x = 0$

ステップ 2.1.1.4

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1 = 0$

ステップ 2.1.1.5

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1 = 0$

ステップ 2.1.1.6

$x$ を $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

$x (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

ステップ 2.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 2.1.2.3

多項式を書き換えます。

$x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$x {(x - 1)}^{2} = 0$

$x {(x - 1)}^{2} = 0$

$x {(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.4

${(x - 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

${(x - 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について ${(x - 1)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

$x = 1$

$x = 1$

ステップ 2.5

最終解は $x {(x - 1)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1$

$x = 0, 1$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0, 1}$

ステップ 4

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$