微分積分学準備例

${(3 (\cos (15 °) + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$\cos (15 °)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ です。

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ステップ 1.1.1

$15$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

${(3 (\cos (45 - 30) + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.2

否定を分割します。

${(3 (\cos (45 - (30)) + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.3

角の差の公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

${(3 (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.4

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.5

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.6

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.7

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.8

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.1.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.8.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.8.1.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

${(3 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.8.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

${(3 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.8.1.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.8.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.8.1.2

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.8.1.2.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.8.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1.1.8.2

公分母の分子をまとめます。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (15 °)))}^{4}$

ステップ 1.2

$\sin (15 °)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ です。

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ステップ 1.2.1

$15$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - 30)))}^{4}$

ステップ 1.2.2

否定を分割します。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - (30))))}^{4}$

ステップ 1.2.3

角の差の公式を当てはめます。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))))}^{4}$

ステップ 1.2.4

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))))}^{4}$

ステップ 1.2.5

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))))}^{4}$

ステップ 1.2.6

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))))}^{4}$

ステップ 1.2.7

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{4}$

ステップ 1.2.8

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.8.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.8.1.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{4}$

ステップ 1.2.8.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{4}$

ステップ 1.2.8.1.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{4}$

ステップ 1.2.8.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{4}$

ステップ 1.2.8.1.2

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.8.1.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})))}^{4}$

ステップ 1.2.8.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})))}^{4}$

ステップ 1.2.8.2

公分母の分子をまとめます。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}))}^{4}$

ステップ 1.3

$i$ と $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ をまとめます。

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}))}^{4}$

ステップ 2

分数をまとめます。

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ステップ 2.1

公分母の分子をまとめます。

${(3 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4})}^{4}$

ステップ 2.2

$3$ と $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4}$ をまとめます。

${(\frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4})}^{4}$

ステップ 3

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.1

積の法則を $\frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$ に当てはめます。

$\frac{{(3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}))}^{4}}{4^{4}}$

ステップ 3.2

積の法則を $3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})$ に当てはめます。

$\frac{3^{4} {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{4}}{4^{4}}$

ステップ 4

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{81 {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{4}}{4^{4}}$

ステップ 5

$4$ を $4$ 乗します。

$\frac{81 {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{4}}{256}$

微分積分学準備 例

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