微分積分学準備例

$4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 9 y + 16 = 0$

ステップ 1

$y$ について解きます。

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ステップ 1.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2

$a = 3$ 、 $b = 9$ 、および $c = 4 x^{2} - 2 x + 16$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (4 x^{2} - 2 x + 16))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$9$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 3 \cdot (4 x^{2} - 2 x + 16)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 12 \cdot (4 x^{2} - 2 x + 16)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 12 (4 x^{2}) - 12 (- 2 x) - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.4.1

$4$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} - 12 (- 2 x) - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3.1.4.2

$- 2$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} + 24 x - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3.1.4.3

$- 12$ に $16$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} + 24 x - 192}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3.1.5

$81$ から $192$ を引きます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 24 x - 111}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3.1.6

$3$ を $- 48 x^{2} + 24 x - 111$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.6.1

$3$ を $- 48 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 24 x - 111}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3.1.6.2

$3$ を $24 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x) - 111}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3.1.6.3

$3$ を $- 111$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (- 37)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3.1.6.4

$3$ を $3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x) + 3 (- 37)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3.1.6.5

$3$ を $3 (- 16 x^{2} + 8 x) + 3 (- 37)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

ステップ 1.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1.1

$9$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 3 \cdot (4 x^{2} - 2 x + 16)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 12 \cdot (4 x^{2} - 2 x + 16)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 12 (4 x^{2}) - 12 (- 2 x) - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.4.1

$4$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} - 12 (- 2 x) - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.1.4.2

$- 2$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} + 24 x - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.1.4.3

$- 12$ に $16$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} + 24 x - 192}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.1.5

$81$ から $192$ を引きます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 24 x - 111}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.1.6

$3$ を $- 48 x^{2} + 24 x - 111$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.1.6.1

$3$ を $- 48 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 24 x - 111}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.1.6.2

$3$ を $24 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x) - 111}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.1.6.3

$3$ を $- 111$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (- 37)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.1.6.4

$3$ を $3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x) + 3 (- 37)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.1.6.5

$3$ を $3 (- 16 x^{2} + 8 x) + 3 (- 37)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

ステップ 1.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{- 9 + \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

ステップ 1.4.4

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 \cdot 9 + \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

ステップ 1.4.5

$- 1$ を $\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 \cdot 9 - 1 (- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)})}{6}$

ステップ 1.4.6

$- 1$ を $- 1 (9) - 1 (- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)})$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (9 - \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)})}{6}$

ステップ 1.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

ステップ 1.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$9$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 3 \cdot (4 x^{2} - 2 x + 16)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 12 \cdot (4 x^{2} - 2 x + 16)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 12 (4 x^{2}) - 12 (- 2 x) - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.1.4

簡約します。

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ステップ 1.5.1.4.1

$4$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} - 12 (- 2 x) - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.1.4.2

$- 2$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} + 24 x - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.1.4.3

$- 12$ に $16$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 48 x^{2} + 24 x - 192}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.1.5

$81$ から $192$ を引きます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 24 x - 111}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.1.6

$3$ を $- 48 x^{2} + 24 x - 111$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.1.6.1

$3$ を $- 48 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 24 x - 111}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.1.6.2

$3$ を $24 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x) - 111}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.1.6.3

$3$ を $- 111$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (- 37)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.1.6.4

$3$ を $3 (- 16 x^{2}) + 3 (8 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x) + 3 (- 37)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.1.6.5

$3$ を $3 (- 16 x^{2} + 8 x) + 3 (- 37)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

ステップ 1.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{- 9 - \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

ステップ 1.5.4

$- 1$ を $- 9 - \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.4.1

$- 9$ と $- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}$ を並べ替えます。

$y = \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} - 9}{6}$

ステップ 1.5.4.2

$- 1$ を $- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}) - 9}{6}$

ステップ 1.5.4.3

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$y = \frac{- (\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}) - 1 \cdot 9}{6}$

ステップ 1.5.4.4

$- 1$ を $- (\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}) - 1 (9)$ で因数分解します。

$y = \frac{- (\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9)}{6}$

ステップ 1.5.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

ステップ 1.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

ステップ 2

多項式を標準形で書くために、簡約し、項を降順に並べます。

$y = a x^{2} + b x + c$

ステップ 3

分数 $\frac{9 - \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$ を2つの分数に分割します。

$y = - (\frac{9}{6} + \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$y = - (\frac{3 (3)}{6} + \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$y = - (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} + \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

ステップ 4.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = - (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} + \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}), - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

ステップ 4.1.2.3

式を書き換えます。

$y = - (\frac{3}{2} + \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

$y = - (\frac{3}{2} + \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

$y = - (\frac{3}{2} + \frac{- \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

ステップ 4.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - (\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

$y = - (\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6})$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

ステップ 5

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$

ステップ 6

分数 $\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} + 9}{6}$ を2つの分数に分割します。

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - (\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} + \frac{9}{6})$

ステップ 7

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - (\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} + \frac{3 (3)}{6})$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - (\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2})$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}, - (\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2})$

ステップ 7.2.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - (\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} + \frac{3}{2})$

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - (\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} + \frac{3}{2})$

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - (\frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} + \frac{3}{2})$

ステップ 8

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}}{6} - \frac{3}{2}$

ステップ 9

項を並べ替えます。

$y = - \frac{3}{2} + \frac{1}{6} \cdot \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}$

$y = - (\frac{1}{6} \cdot \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}) - \frac{3}{2}$

ステップ 10

括弧を削除します。

$y = - \frac{3}{2} + \frac{1}{6} \cdot \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)}$

$y = - \frac{1}{6} \cdot \sqrt{3 (- 16 x^{2} + 8 x - 37)} - \frac{3}{2}$

ステップ 11

微分積分学準備 例

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