微分積分学準備例

$81 x^{2} - 18 x + 1 < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$81 x^{2} - 18 x + 1 = 0$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$81 x^{2}$ を ${(9 x)}^{2}$ に書き換えます。

${(9 x)}^{2} - 18 x + 1 = 0$

ステップ 2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

${(9 x)}^{2} - 18 x + 1^{2} = 0$

ステップ 2.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$18 x = 2 \cdot (9 x) \cdot 1$

ステップ 2.4

多項式を書き換えます。

${(9 x)}^{2} - 2 \cdot (9 x) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 2.5

$a = 9 x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(9 x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3

$9 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$9 x - 1 = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$9 x = 1$

ステップ 4.2

$9 x = 1$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$9 x = 1$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

ステップ 4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{9}$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{1}{9}$

$x > \frac{1}{9}$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < \frac{1}{9}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < \frac{1}{9}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$81 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 1 < 0$

ステップ 6.1.3

左辺 $1$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.2

区間 $x > \frac{1}{9}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $x > \frac{1}{9}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$81 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 1 < 0$

ステップ 6.2.3

左辺 $676$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{1}{9}$ 偽

$x > \frac{1}{9}$ 偽

$x < \frac{1}{9}$ 偽

$x > \frac{1}{9}$ 偽

ステップ 7

この区間になる数がないので、この不等式に解はありません。

解がありません

微分積分学準備 例

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