微分積分学準備例

$\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4} > 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} + x - 12 = 0$

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $1$ です。

$- 3, 4$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 4) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 6

最終解は $(x - 3) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 4$

ステップ 7

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

ステップ 7.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 7.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

ステップ 7.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 8

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 9

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 10

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 3, - 4$

$x = 2$

ステップ 11

解をまとめます。

$x = 3, - 4, 2$

ステップ 12

$\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ の定義域を求めます。

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ステップ 12.1

$\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

ステップ 12.2

$x$ について解きます。

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ステップ 12.2.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 12.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

ステップ 12.2.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 12.2.1.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

ステップ 12.2.1.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 12.2.2

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 12.2.3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 12.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 13

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 14

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 14.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 14.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 12}{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot - 6 + 4} > 0$

ステップ 14.1.3

左辺 $0.28125$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 14.2

区間 $- 4 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.2.1

区間 $- 4 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 14.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{{(0)}^{2} + 0 - 12}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4} > 0$

ステップ 14.2.3

左辺 $- 3$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 14.3

区間 $2 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.3.1

区間 $2 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2.5$

ステップ 14.3.2

$x$ を元の不等式の $2.5$ で置き換えます。

$\frac{{(2.5)}^{2} + 2.5 - 12}{{(2.5)}^{2} - 4 \cdot 2.5 + 4} > 0$

ステップ 14.3.3

左辺 $- 13$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 14.4

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.4.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 14.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{{(6)}^{2} + 6 - 12}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 4} > 0$

ステップ 14.4.3

左辺 $1.875$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 14.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 2$ 偽

$2 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 2$ 偽

$2 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

ステップ 15

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 4$ または $x > 3$

ステップ 16

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$

ステップ 17

微分積分学準備 例

微分積分学準備例