微分積分学準備例

$\frac{(x - 7) (x + 7)}{x} \leq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$x - 7 = 0$

$x + 7 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 3

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x = - 7$

ステップ 4

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = 7$

$x = - 7$

ステップ 5

解をまとめます。

$x = 0, 7, - 7$

ステップ 6

$\frac{(x - 7) (x + 7)}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{(x - 7) (x + 7)}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 6.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < - 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < - 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$\frac{((- 10) - 7) ((- 10) + 7)}{- 10} \leq 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $- 5.1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 8.2

区間 $- 7 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $- 7 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{((- 4) - 7) ((- 4) + 7)}{- 4} \leq 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $8.25$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.3

区間 $0 < x < 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $0 < x < 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{((4) - 7) ((4) + 7)}{4} \leq 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $- 8.25$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 8.4

区間 $x > 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.4.1

区間 $x > 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 8.4.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$\frac{((10) - 7) ((10) + 7)}{10} \leq 0$

ステップ 8.4.3

左辺 $5.1$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 7$ 真

$- 7 < x < 0$ 偽

$0 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

$x < - 7$ 真

$- 7 < x < 0$ 偽

$0 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 7$ または $0 < x \leq 7$

ステップ 10

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 7] \cup (0, 7]$

ステップ 11

微分積分学準備 例

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