微分積分学準備例

$x = y^{2} - 4 y$

ステップ 1

方程式を $y^{2} - 4 y = x$ として書き換えます。

$y^{2} - 4 y = x$

ステップ 2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$y^{2} - 4 y - x = 0$

ステップ 3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.1.2

$- 4$ を $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.1.3

$- 4$ を $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3

$- 4 (- 4 - x)$ を $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3.3

括弧を付けます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

ステップ 5.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ を簡約します。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

ステップ 6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.1.2

$- 4$ を $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.1.3

$- 4$ を $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

$- 4 (- 4 - x)$ を $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3.3

括弧を付けます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

ステップ 6.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ を簡約します。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

ステップ 6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

ステップ 7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.1.2

$- 4$ を $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.1.3

$- 4$ を $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3

$- 4 (- 4 - x)$ を $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 7.1.3.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3.3

括弧を付けます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

ステップ 7.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ を簡約します。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

ステップ 7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

ステップ 8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

ステップ 9

変数を入れ替えます。各式に対して方程式を作成します。

$x = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)}, x = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - y)}$

ステップ 10

$y$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$ として書き換えます。

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x - 2$

ステップ 10.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{- 1 (- 4 - y)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 10.4

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 10.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- 1 (- 4 - y)}$ を ${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 10.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.4.2.1

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 10.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(- 1 (- 4 - y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.2

分配則を当てはめます。

${(- 1 \cdot - 4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

${(4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.4

$- 1 (- y)$ を掛けます。

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ステップ 10.4.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

${(4 + 1 y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.4.2

$y$ に $1$ をかけます。

${(4 + y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.5

簡約します。

$4 + y = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 10.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.3.1

${(x - 2)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.3.1.1

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$4 + y = (x - 2) (x - 2)$

ステップ 10.4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 10.4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$4 + y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

ステップ 10.4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

ステップ 10.4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 10.4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 10.4.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.4.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$4 + y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 10.4.3.1.3.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$4 + y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 10.4.3.1.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$4 + y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

ステップ 10.4.3.1.3.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$4 + y = x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 10.5

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.5.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 4$

ステップ 10.5.2

$x^{2} - 4 x + 4 - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 10.5.2.1

$4$ から $4$ を引きます。

$y = x^{2} - 4 x + 0$

ステップ 10.5.2.2

$x^{2} - 4 x$ と $0$ をたし算します。

$y = x^{2} - 4 x$

ステップ 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

ステップ 12

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ が $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ の逆か確認します。

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ステップ 12.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ を求め、それらを比較します。

ステップ 12.2

$f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ の値域を求めます。

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ステップ 12.2.1

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ の値域を求めます。

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ステップ 12.2.1.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[2, \infty)$

ステップ 12.2.2

$2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ の値域を求めます。

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ステップ 12.2.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, 2]$

ステップ 12.2.3

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ステップ 12.2.3.1

和集合は各区間に含まれる要素からなります。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 12.3

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 12.3.1

$\sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$

ステップ 12.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 12.3.2.1

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 12.3.2.1.1

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- 1 (- 4 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 12.3.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 12.3.2.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{- 4 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 12.3.2.1.2.2

$- 4 - x$ を $1$ で割ります。

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 12.3.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 12.3.2.1.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$- 4 - x \leq 0$

ステップ 12.3.2.2

不等式の両辺に $4$ を足します。

$- x \leq 4$

ステップ 12.3.2.3

$- x \leq 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 12.3.2.3.1

$- x \leq 4$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

ステップ 12.3.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

ステップ 12.3.2.3.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{4}{- 1}$

ステップ 12.3.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.3.3.1

$4$ を $- 1$ で割ります。

$x \geq - 4$

ステップ 12.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- 4, \infty)$

ステップ 12.4

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ の定義域が $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ の範囲が $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ は $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

ステップ 13

微分積分学準備 例

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