微分積分学準備例

$C (t) = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (t) = t$ および $g (t) = 3 t^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$3 t^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $3 t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

$6 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.8.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.4

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.7

$3 t^{2}$ から $6 t^{2}$ を引きます。

$\frac{- 3 t^{2} + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$- 1$ を $- 3 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (3 t^{2}) + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.8.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (3 t^{2}) - 1 (- 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.8.3

$- 1$ を $- (3 t^{2}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.8.4

$- (3 t^{2} - 1)$ を $- 1 (3 t^{2} - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.8.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (t) = - 1$ および $g (t) = \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$C'' (t) = - \frac{d}{d t} \cdot \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.2

$f (t) = 3 t^{2} - 1$ および $g (t) = {(3 t^{2} + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{({(3 t^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${({(3 t^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $3 t^{2} - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.3.3

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.3.5

$2$ に $3$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.3.6

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t + 0) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$6 t$ と $0$ をたし算します。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.3.7.2

$6$ を ${(3 t^{2} + 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$C'' (t) = - \frac{6 \cdot ({(3 t^{2} + 1)}^{2} t) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.4

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = 3 t^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 t^{2} + 1$ とします。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $3 t^{2} + 1$ で置き換えます。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (2 (3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.5

微分します。

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ステップ 2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.5.2

総和則では、 $3 t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.5.3

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.5.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.5.5

$2$ に $3$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.5.6

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t + 0))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.5.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.1

$6 t$ と $0$ をたし算します。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.5.7.2

$6$ を $3 t^{2} + 1$ の左に移動させます。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) (6 \cdot ((3 t^{2} + 1) t))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.5.7.3

$6$ に $- 2$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 2.5.8

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.5.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.9.1

$\frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ に $0$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + 0$

ステップ 2.5.9.2

$- \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$ と $0$ をたし算します。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.1

${(3 t^{2} + 1)}^{2}$ を $(3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)$ に書き換えます。

$C'' (t) = - \frac{6 ((3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2} + 1) + 1 (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{2} t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.3.1.2

指数を足して $t^{2}$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.3.1.2.1

$t^{2}$ を移動させます。

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 (t^{2} t^{2})) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{2 + 2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{4}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.3.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.3.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.3.1.5

$3 t^{2}$ に $1$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 3 t^{2} + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.3.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 3 t^{2} + 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.3.2

$3 t^{2}$ と $3 t^{2}$ をたし算します。

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 6 t^{2} + 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.4

分配則を当てはめます。

$C'' (t) = - \frac{(6 (9 t^{4}) + 6 (6 t^{2}) + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.5.1

$9$ に $6$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 6 (6 t^{2}) + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.5.2

$6$ に $6$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 36 t^{2} + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.5.3

$6$ に $1$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 36 t^{2} + 6) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.6

分配則を当てはめます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{4} t + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.7.1

指数を足して $t^{4}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.7.1.1

$t$ を移動させます。

$C'' (t) = - \frac{54 (t \cdot t^{4}) + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.7.1.2

$t$ に $t^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.7.1.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$C'' (t) = - \frac{54 (t \cdot t^{4}) + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.7.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{1 + 4} + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.7.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.7.2

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.7.2.1

$t$ を移動させます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 (t \cdot t^{2}) + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.7.2.2

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.7.2.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 (t \cdot t^{2}) + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{1 + 2} + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.7.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.8.1

$3$ に $- 12$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.8.2

$- 12$ に $- 1$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.9.1

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.9.1.1

$t$ を移動させます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 (t \cdot t^{2}) + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.9.1.2

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.9.1.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 (t \cdot t^{2}) + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.9.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{1 + 2} + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.9.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.9.2

$t$ に $1$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.10

分配法則（FOIL法）を使って $(- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + t)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.10.1

分配則を当てはめます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3} + t) + 12 (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.10.2

分配則を当てはめます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.10.3

分配則を当てはめます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.11

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.11.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{2} t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.11.1.2

指数を足して $t^{2}$ に $t^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.11.1.2.1

$t^{3}$ を移動させます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 (t^{3} t^{2})) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.11.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{3 + 2}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.11.1.2.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{5}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.11.1.3

$- 36$ に $3$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.11.1.4

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.11.1.4.1

$t$ を移動させます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 (t \cdot t^{2}) + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.11.1.4.2

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.11.1.4.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 (t \cdot t^{2}) + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.11.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{1 + 2} + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.11.1.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{3} + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.11.1.5

$3$ に $12$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{3} + 36 t^{3} + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.11.2

$- 36 t^{3}$ と $36 t^{3}$ をたし算します。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} + 0 + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.1.11.3

$- 108 t^{5}$ と $0$ をたし算します。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.2

$54 t^{5}$ から $108 t^{5}$ を引きます。

$C'' (t) = - \frac{- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.3.3

$6 t$ と $12 t$ をたし算します。

$C'' (t) = - \frac{- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1

$18 t$ を $- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 18 t$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.1

$18 t$ を $- 54 t^{5}$ で因数分解します。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 36 t^{3} + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.1.2

$18 t$ を $36 t^{3}$ で因数分解します。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2}) + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.1.3

$18 t$ を $18 t$ で因数分解します。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2}) + 18 t (1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.1.4

$18 t$ を $18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2})$ で因数分解します。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2}) + 18 t (1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.1.5

$18 t$ を $18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2}) + 18 t (1)$ で因数分解します。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2} + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.2

$t^{4}$ を ${(t^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 {(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.3

$u = t^{2}$ とします。 $u$ を $t^{2}$ に代入します。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + 2 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.4

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.4.1.1

$2$ を $2 u$ で因数分解します。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + 2 (u) + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.4.1.2

$2$ を $- 1$ プラス $3$ に書き換える

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + (- 1 + 3) u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.4.1.3

分配則を当てはめます。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} - 1 u + 3 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 u^{2} - 1 u) + 3 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$C'' (t) = - \frac{18 t (u (- 3 u - 1) - (- 3 u - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.4.3

最大公約数 $- 3 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 u - 1) (u - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.5

$u$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 t^{2} - 1) (t^{2} - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 t^{2} - 1) (t^{2} - 1^{2}))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.4.7

因数分解。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{2} - 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.5

$- 3 t^{2} - 1$ と ${(3 t^{2} + 1)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1

$- 1$ を $- 3 t^{2}$ で因数分解します。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2}) - 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.5.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2}) - 1 \cdot 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.5.3

$- 1$ を $- (3 t^{2}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.5.4

$- (3 t^{2} + 1)$ を $- 1 (3 t^{2} + 1)$ に書き換えます。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 1 (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.5.5

$3 t^{2} + 1$ を $18 t (- 1 (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)$ で因数分解します。

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.6.5.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.6.1

$3 t^{2} + 1$ を ${(3 t^{2} + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{(3 t^{2} + 1) {(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.6.5.6.2

共通因数を約分します。

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{(3 t^{2} + 1) {(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.6.5.6.3

式を書き換えます。

$C'' (t) = - \frac{(18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.6.6

$- 1$ に $18$ をかけます。

$C'' (t) = - \frac{- 18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.6.7

分数の前に負数を移動させます。

$C'' (t) = \frac{(18 t (t + 1)) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.6.8

$- - \frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$C'' (t) = 1 (\frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.6.8.2

$\frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$C'' (t) = \frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{(3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.2

$3 t^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.3

総和則では、 $3 t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.4

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.6

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.7

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$6 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.8.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.4

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.7

$3 t^{2}$ から $6 t^{2}$ を引きます。

$\frac{- 3 t^{2} + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

$- 1$ を $- 3 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (3 t^{2}) + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.8.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (3 t^{2}) - 1 (- 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.8.3

$- 1$ を $- (3 t^{2}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.8.4

$- (3 t^{2} - 1)$ を $- 1 (3 t^{2} - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.8.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (t) = - \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$t$ に関する $C (t)$ の一次導関数は $- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ です。

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$3 t^{2} - 1 = 0$

ステップ 5.3

$t$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 t^{2} = 1$

ステップ 5.3.2

$3 t^{2} = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$3 t^{2} = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 t^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 t^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.2

$t^{2}$ を $1$ で割ります。

$t^{2} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$t = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.3.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$t = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.3.4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.3.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 5.3.4.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 5.3.4.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 5.3.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.3.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 5.3.4.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 5.3.4.4.6.5

指数を求めます。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 8

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{18 (\frac{\sqrt{3}}{3}) ((\frac{\sqrt{3}}{3}) + 1) ((\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1)}{{(3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$18$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{1}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.2.5

指数を求めます。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (\frac{3}{9}) + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.4.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 (3)} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(\frac{3}{3} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(1 + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{2^{3}}$

ステップ 9.2.7

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 9.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{18 \sqrt{3}}{3}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1.1

$3$ を $18 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 9.3.1.1.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3 (1)} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 9.3.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3 \cdot 1} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 9.3.1.1.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3}}{1} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 9.3.1.2

$6 \sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{6 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 9.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{6 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 9.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 9.3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}{8}$

ステップ 9.3.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}{8}$

ステップ 9.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} \frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.7

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.8

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.8.1

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6}{3} \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.8.2

$\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6}{3}$ と $\sqrt{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.8.3

$\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3}}{3}$ に $\frac{\sqrt{3} - 3}{3}$ をかけます。

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3 \cdot 3}}{8}$

ステップ 9.3.8.4

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{9}}{8}$

ステップ 9.3.9

今日数因数で約分することで式 $\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{9}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.9.1

$3$ を $(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{9}}{8}$

ステップ 9.3.9.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{3 (3)}}{8}$

ステップ 9.3.9.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{3 \cdot 3}}{8}$

ステップ 9.3.9.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{(\sqrt{3} \cdot 2 + 3 \cdot 2) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.2

$2$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{(2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{(2 \cdot \sqrt{3} + 6) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.5

$2 \sqrt{3} \sqrt{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.10.5.1

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.5.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.10.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{(2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.10.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{1} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.6.5

指数を求めます。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.7

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{(6 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.8

分配法則（FOIL法）を使って $(6 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.10.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{6 (\sqrt{3} - 3) + 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.10.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.10.9.1.1

$6$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.1.2

$6 \sqrt{3} \sqrt{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.10.9.1.2.1

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.1.2.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.10.9.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.10.9.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{1} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3 + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.1.4

$6$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 18 + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.1.5

$- 3$ に $6$ をかけます。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 18 - 18 \sqrt{3}}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.2

$6 \sqrt{3}$ から $18 \sqrt{3}$ を引きます。

$\frac{\frac{- 18 + 18 - 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.3

$- 18$ と $18$ をたし算します。

$\frac{\frac{0 - 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

ステップ 9.3.10.9.4

$0$ から $12 \sqrt{3}$ を引きます。

$\frac{\frac{- 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

ステップ 9.3.11

$- 12$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.11.1

$3$ を $- 12 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3}}{8}$

ステップ 9.3.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.11.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3 (1)}}{8}$

ステップ 9.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{8}$

ステップ 9.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{3}}{1}}{8}$

ステップ 9.3.11.2.4

$- 4 \sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{8}$

ステップ 9.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

$- 4$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1.1

$4$ を $- 4 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{8}$

ステップ 9.4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{4 (2)}$

ステップ 9.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

ステップ 9.4.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 9.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 10

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ は極大値です

ステップ 11

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $t$ を $\frac{\sqrt{3}}{3}$ で置換えます。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

ステップ 11.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

ステップ 11.2.2.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

ステップ 11.2.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}) + 1}$

ステップ 11.2.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

ステップ 11.2.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

ステップ 11.2.2.2.4.2

式を書き換えます。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

ステップ 11.2.2.2.5

指数を求めます。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

ステップ 11.2.2.3

$3$ を $2$ 乗します。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{9}) + 1}$

ステップ 11.2.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.4.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 (3)}) + 1}$

ステップ 11.2.2.4.2

共通因数を約分します。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 \cdot 3}) + 1}$

ステップ 11.2.2.4.3

式を書き換えます。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + 1}$

ステップ 11.2.2.5

$3$ を $3$ で割ります。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1}$

ステップ 11.2.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 11.2.3

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

ステップ 11.2.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6}$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $\frac{\sqrt{3}}{6}$ です。

$y = \frac{\sqrt{3}}{6}$

ステップ 12

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{18 (- \frac{\sqrt{3}}{3}) ((- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 1) ((- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$- 1$ に $18$ をかけます。

$\frac{- 18 \frac{\sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 13.1.2

$- 18$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.3

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.4

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{1}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.4.5

指数を求めます。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.5

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (\frac{3}{9}) + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.6.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 (3)} + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.6.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(\frac{3}{3} + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.7

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(1 + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{2^{3}}$

ステップ 13.2.9

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 13.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{- 18 \sqrt{3}}{3}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1.1.1

$3$ を $- 18 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 13.3.1.1.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3 (1)} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 13.3.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3 \cdot 1} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 13.3.1.1.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3}}{1} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 13.3.1.2

$- 6 \sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{- 6 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 13.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- 6 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 13.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

ステップ 13.3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}{8}$

ステップ 13.3.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}{8}$

ステップ 13.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} \frac{- \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.7

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.8

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.8.1

$\frac{- \sqrt{3} + 3}{3}$ と $- 6$ をまとめます。

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6}{3} \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.8.2

$\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6}{3}$ と $\sqrt{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.8.3

$\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3}}{3}$ に $\frac{- \sqrt{3} - 3}{3}$ をかけます。

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3 \cdot 3}}{8}$

ステップ 13.3.8.4

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{9}}{8}$

ステップ 13.3.9

今日数因数で約分することで式 $\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{9}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.9.1

$3$ を $(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{9}}{8}$

ステップ 13.3.9.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{3 (3)}}{8}$

ステップ 13.3.9.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{3 \cdot 3}}{8}$

ステップ 13.3.9.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} \cdot - 2 + 3 \cdot - 2) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} + 3 \cdot - 2) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} - 6) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.5

$2 \sqrt{3} \sqrt{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.10.5.1

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.5.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.10.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{(2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.10.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{1} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.6.5

指数を求めます。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.7

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{(6 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.8

分配法則（FOIL法）を使って $(6 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.10.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3} - 3) - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.10.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.10.9.1.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.1.2

$6$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.1.3

$- 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.10.9.1.3.1

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.1.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.1.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.10.9.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.10.9.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{1} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.1.4.5

指数を求めます。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3 - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.1.5

$6$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 18 - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.1.6

$- 3$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 18 + 18 \sqrt{3}}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.2

$- 6 \sqrt{3}$ と $18 \sqrt{3}$ をたし算します。

$\frac{\frac{- 18 + 18 + 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.3

$- 18$ と $18$ をたし算します。

$\frac{\frac{0 + 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

ステップ 13.3.10.9.4

$0$ と $12 \sqrt{3}$ をたし算します。

$\frac{\frac{12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

ステップ 13.3.11

$12$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.11.1

$3$ を $12 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3}}{8}$

ステップ 13.3.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.11.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3 (1)}}{8}$

ステップ 13.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{8}$

ステップ 13.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{4 \sqrt{3}}{1}}{8}$

ステップ 13.3.11.2.4

$4 \sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{4 \sqrt{3}}{8}$

ステップ 13.4

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1

$4$ を $4 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 (\sqrt{3})}{8}$

ステップ 13.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

ステップ 13.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

ステップ 13.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 14

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ は極小値です

ステップ 15

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $t$ を $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ で置換えます。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

ステップ 15.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 1}$

ステップ 15.2.2.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1}$

ステップ 15.2.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1}$

ステップ 15.2.2.3

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

ステップ 15.2.2.4

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

ステップ 15.2.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}) + 1}$

ステップ 15.2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

ステップ 15.2.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

ステップ 15.2.2.4.4.2

式を書き換えます。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

ステップ 15.2.2.4.5

指数を求めます。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

ステップ 15.2.2.5

$3$ を $2$ 乗します。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{9}) + 1}$

ステップ 15.2.2.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.6.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 (3)}) + 1}$

ステップ 15.2.2.6.2

共通因数を約分します。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 \cdot 3}) + 1}$

ステップ 15.2.2.6.3

式を書き換えます。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + 1}$

ステップ 15.2.2.7

$3$ を $3$ で割ります。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1}$

ステップ 15.2.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 15.2.3

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をかけます。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 15.2.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{6}$

ステップ 15.2.4

最終的な答えは $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ です。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{6}$

ステップ 16

$C (t) = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$ の極値です。

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{6})$ は極大値です

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{6})$ は極小値です

ステップ 17

微分積分学準備 例

微分積分学準備例