微分積分学準備例

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y - 37 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $37$ を足します。

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$

ステップ 2

$12 x^{2} - 12 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 12$

$b = - 12$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 12}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$- 12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$2$ を $- 12$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

ステップ 2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 12$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (12)}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 6}{12}$

ステップ 2.3.2.2

$- 6$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$6$ を $- 6$ で因数分解します。

$d = \frac{6 (- 1)}{12}$

ステップ 2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

ステップ 2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

ステップ 2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 12}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

${(- 12)}^{2}$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.1

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$e = 0 - \frac{{(- 1 (12))}^{2}}{4 \cdot 12}$

ステップ 2.4.2.1.1.2

積の法則を $- 1 (12)$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

ステップ 2.4.2.1.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

ステップ 2.4.2.1.1.4

$12^{2}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 12}$

ステップ 2.4.2.1.1.5

$12$ を $12^{2}$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{4 \cdot 12}$

ステップ 2.4.2.1.1.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.6.1

$12$ を $4 \cdot 12$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

ステップ 2.4.2.1.1.6.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

ステップ 2.4.2.1.1.6.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{12}{4}$

ステップ 2.4.2.1.2

$12$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4}$

ステップ 2.4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

ステップ 2.4.2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.1.2.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{3}{1}$

ステップ 2.4.2.1.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 3$

ステップ 2.4.2.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$e = 0 - 3$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $3$ を引きます。

$e = - 3$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ に代入します。

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$

ステップ 3

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ を方程式 $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ の中の $12 x^{2} - 12 x$ に代入します。

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3 + 20 y^{2} + 40 y = 37$

ステップ 4

両辺に $3$ を加えて、 $- 3$ を方程式の右辺に移動させます。

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 y^{2} + 40 y = 37 + 3$

ステップ 5

$20 y^{2} + 40 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 20$

$b = 40$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{40}{2 \cdot 20}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$40$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$2$ を $40$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

ステップ 5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 20$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (20)}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

ステップ 5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{20}{20}$

ステップ 5.3.2.2

$20$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{20}{20}$

ステップ 5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 20}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$40$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 20}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $20$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1600}{80}$

ステップ 5.4.2.1.3

$1600$ を $80$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 20$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $20$ をかけます。

$e = 0 - 20$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $20$ を引きます。

$e = - 20$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ に代入します。

$20 {(y + 1)}^{2} - 20$

ステップ 6

$20 {(y + 1)}^{2} - 20$ を方程式 $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ の中の $20 y^{2} + 40 y$ に代入します。

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} - 20 = 37 + 3$

ステップ 7

両辺に $20$ を加えて、 $- 20$ を方程式の右辺に移動させます。

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 37 + 3 + 20$

ステップ 8

$37 + 3 + 20$ を簡約します。

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ステップ 8.1

$37$ と $3$ をたし算します。

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 40 + 20$

ステップ 8.2

$40$ と $20$ をたし算します。

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 60$

ステップ 9

各項を $60$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{12 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{60} + \frac{20 {(y + 1)}^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

ステップ 10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{5} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

ステップ 11

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 12

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = \frac{1}{2}$

ステップ 13

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 14

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

分子を簡約します。

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ステップ 15.1.1

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 15.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.1.1.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{5 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.1.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 15.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.1.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5 - 3^{1}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.1.2.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5 - 3}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.1.4

$5$ から $3$ を引きます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.2

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 15.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 15.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 15.3.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

ステップ 15.3.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

ステップ 15.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 15.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 15.3.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 15.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 15.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 15.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 15.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 15.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

ステップ 15.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

ステップ 15.4

分子を簡約します。

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ステップ 15.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

ステップ 15.4.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

10進法形式：

$0.63245553 \dots$

ステップ 17

微分積分学準備 例

微分積分学準備例