微分積分学準備例

$y = \frac{1}{2} \sin (2 x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\frac{1}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\cos (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$2$ と $\frac{\cos (2 x)}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.2.2

$\cos (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (2 x) \cdot 1$

ステップ 1.3.5

$\cos (2 x)$ に $1$ をかけます。

$\cos (2 x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

ステップ 2.2.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\cos (2 x) = 0$

ステップ 4

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arccos (0)$

ステップ 5

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$2 x = \frac{π}{2}$

ステップ 6

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 6.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 7

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

簡約します。

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ステップ 8.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 8.1.2

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 8.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 8.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 8.1.5

$4 π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 8.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 8.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 8.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.2.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 9

方程式 $2 x = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

ステップ 10

$x = \frac{π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

ステップ 11.1.2

共通因数を約分します。

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

ステップ 11.1.3

式を書き換えます。

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 11.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 11.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 12

$x = \frac{π}{4}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{4}$ は極大値です

ステップ 13

$x = \frac{π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{4}))$

ステップ 13.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

ステップ 13.2.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

ステップ 13.2.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 13.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 13.2.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

ステップ 13.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{2}$ です。

$y = \frac{1}{2}$

ステップ 14

$x = \frac{3 π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

ステップ 15

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

ステップ 15.1.2

共通因数を約分します。

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

ステップ 15.1.3

式を書き換えます。

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 15.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 15.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 15.4

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 \cdot - 1$

ステップ 15.4.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2$

ステップ 16

$x = \frac{3 π}{4}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3 π}{4}$ は極小値です

ステップ 17

$x = \frac{3 π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

ステップ 17.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

ステップ 17.2.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

ステップ 17.2.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 17.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 17.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

ステップ 17.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 17.2.5

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 17.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2}$

ステップ 17.2.7

最終的な答えは $- \frac{1}{2}$ です。

$y = - \frac{1}{2}$

ステップ 18

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ の極値です。

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2})$ は極大値です

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2})$ は極小値です

ステップ 19

微分積分学準備 例

微分積分学準備例