微分積分学準備例

$x^{4} + 122 x^{2} + 121$

ステップ 1

$x^{4} + 122 x^{2} + 121$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} + 122 x^{2} + 121 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} + 122 u + 121 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2.2

たすき掛けを利用して $u^{2} + 122 u + 121$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $121$ で、その和が $122$ です。

$1, 121$

ステップ 2.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u + 1) (u + 121) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u + 1 = 0$

$u + 121 = 0$

ステップ 2.4

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 2.5

$u + 121$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$u + 121$ が $0$ に等しいとします。

$u + 121 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $121$ を引きます。

$u = - 121$

ステップ 2.6

最終解は $(u + 1) (u + 121) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = - 1, - 121$

ステップ 2.7

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = - 1$

${(x^{2})}^{1} = - 121$

ステップ 2.8

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = - 1$

ステップ 2.9

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.9.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 2.9.2

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 2.9.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.9.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 2.9.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 2.9.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 2.10

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = - 121$

ステップ 2.11

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.11.1

括弧を削除します。

$x^{2} = - 121$

ステップ 2.11.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 121}$

ステップ 2.11.3

$\pm \sqrt{- 121}$ を簡約します。

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ステップ 2.11.3.1

$- 121$ を $- 1 (121)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (121)}$

ステップ 2.11.3.2

$\sqrt{- 1 (121)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{121}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{121}$

ステップ 2.11.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{121}$

ステップ 2.11.3.4

$121$ を $11^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{11^{2}}$

ステップ 2.11.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 11$

ステップ 2.11.3.6

$11$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 11 i$

ステップ 2.11.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.11.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 11 i$

ステップ 2.11.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 11 i$

ステップ 2.11.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 11 i, - 11 i$

ステップ 2.12

$x^{4} + 122 x^{2} + 121 = 0$ の解は $x = i, - i, 11 i, - 11 i$ です。

$x = i, - i, 11 i, - 11 i$

ステップ 3

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