微分積分学準備例

$x^{4} + 7 x^{3} + 3 x^{2} - 63 x - 108$

ステップ 1

$x^{4} + 7 x^{3} + 3 x^{2} - 63 x - 108$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} + 7 x^{3} + 3 x^{2} - 63 x - 108 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$7 x^{3} - 63 x + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

ステップ 2.1.2

$7 x$ を $7 x^{3} - 63 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$7 x$ を $7 x^{3}$ で因数分解します。

$7 x (x^{2}) - 63 x + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$7 x$ を $- 63 x$ で因数分解します。

$7 x (x^{2}) + 7 x (- 9) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$7 x$ を $7 x (x^{2}) + 7 x (- 9)$ で因数分解します。

$7 x (x^{2} - 9) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

ステップ 2.1.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$7 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

ステップ 2.1.4

因数分解。

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ステップ 2.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$7 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

ステップ 2.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$7 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

ステップ 2.1.5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$7 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 108 = 0$

ステップ 2.1.6

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$7 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} + 3 u - 108 = 0$

ステップ 2.1.7

たすき掛けを利用して $u^{2} + 3 u - 108$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 108$ で、その和が $3$ です。

$- 9, 12$

ステップ 2.1.7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$7 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u + 12) = 0$

ステップ 2.1.8

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$7 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.9

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$7 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.10

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$7 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.11

$(x + 3) (x - 3)$ を $7 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.11.1

$(x + 3) (x - 3)$ を $7 x (x + 3) (x - 3)$ で因数分解します。

$(x + 3) (x - 3) (7 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.11.2

$(x + 3) (x - 3)$ を $(x + 3) (x - 3) (7 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12)$ で因数分解します。

$(x + 3) (x - 3) (7 x + x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.12

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x + 3) (x - 3) (7 u + u^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.13

たすき掛けを利用して $7 u + u^{2} + 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.13.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $7$ です。

$3, 4$

ステップ 2.1.13.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 3) (x - 3) ((u + 3) (u + 4)) = 0$

ステップ 2.1.14

因数分解。

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ステップ 2.1.14.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x + 4)) = 0$

ステップ 2.1.14.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 3) (x - 3) (x + 3) (x + 4) = 0$

ステップ 2.1.15

指数をまとめます。

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ステップ 2.1.15.1

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$(x + 3) (x + 3) (x - 3) (x + 4) = 0$

ステップ 2.1.15.2

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$(x + 3) (x + 3) (x - 3) (x + 4) = 0$

ステップ 2.1.15.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3) (x + 4) = 0$

ステップ 2.1.15.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x + 3)}^{2} (x - 3) (x + 4) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 3)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2.3

${(x + 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

${(x + 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について ${(x + 3)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.6

最終解は ${(x + 3)}^{2} (x - 3) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 3, - 4$

ステップ 3

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