微分積分学準備例

$\tan (θ) = - 2 \sin (θ)$

ステップ 1

$\tan (θ) = - 2 \sin (θ)$ の各項を $\tan (θ)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$\tan (θ) = - 2 \sin (θ)$ の各項を $\tan (θ)$ で割ります。

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{- 2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\tan (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{- 2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

ステップ 1.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{- 2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1

分数を分解します。

$1 = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\tan (θ)}$

ステップ 1.3.2

正弦と余弦に関して $\tan (θ)$ を書き換えます。

$1 = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

ステップ 1.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ で割ります。

$1 = \frac{- 2}{1} (\sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 1.3.4

$\sin (θ)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$1 = \frac{- 2}{1} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 1.3.5

$\sin (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.5.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{- 2}{1} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

ステップ 1.3.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{- 2}{1} \cos (θ)$

ステップ 1.3.6

$- 2$ を $1$ で割ります。

$1 = - 2 \cos (θ)$

ステップ 2

方程式を $- 2 \cos (θ) = 1$ として書き換えます。

$- 2 \cos (θ) = 1$

ステップ 3

$- 2 \cos (θ) = 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$- 2 \cos (θ) = 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \cos (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \cos (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 3.2.1.2

$\cos (θ)$ を $1$ で割ります。

$\cos (θ) = \frac{1}{- 2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

ステップ 4

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 5

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$θ = \frac{2 π}{3}$

ステップ 6

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 7

$2 π - \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 7.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 7.3.2

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$θ = \frac{4 π}{3}$

ステップ 8

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 8.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 9

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

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