微分積分学準備例

$x^{4} = 625$

ステップ 1

方程式の両辺から $625$ を引きます。

$x^{4} - 625 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} - 625 = 0$

ステップ 2.2

$625$ を $25^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} - 25^{2} = 0$

ステップ 2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 25$ です。

$(x^{2} + 25) (x^{2} - 25) = 0$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} + 25) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

ステップ 2.4.2

因数分解。

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ステップ 2.4.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$(x^{2} + 25) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

ステップ 2.4.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 25) (x + 5) (x - 5) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} + 25 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 4

$x^{2} + 25$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x^{2} + 25$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 25 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{2} + 25 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$x^{2} = - 25$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 25}$

ステップ 4.2.3

$\pm \sqrt{- 25}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$- 25$ を $- 1 (25)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

ステップ 4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (25)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

ステップ 4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

ステップ 4.2.3.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

ステップ 4.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 5$

ステップ 4.2.3.6

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 5 i$

ステップ 4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 5 i$

ステップ 4.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 5 i$

ステップ 4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5 i, - 5 i$

ステップ 5

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 6

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 7

最終解は $(x^{2} + 25) (x + 5) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5 i, - 5 i, - 5, 5$

微分積分学準備 例

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