微分積分学準備例

$\cos (\arccos (x) + \arcsin (x))$

ステップ 1

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$x \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

ステップ 2.1.2

交点 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (x))$ は $\sqrt{1 - x^{2}}$ です。

$x \sqrt{1 - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

ステップ 2.1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x \sqrt{1^{2} - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

ステップ 2.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

ステップ 2.1.5

交点 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arccos (x))$ は $\sqrt{1 - x^{2}}$ です。

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

ステップ 2.1.6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

ステップ 2.1.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arcsin (x))$

ステップ 2.1.8

関数の正弦と逆正弦は逆です。

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$

ステップ 2.2

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.2.1

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ と $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ について因数を並べ替えます。

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 2.2.2

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ から $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を引きます。

$0$

微分積分学準備 例

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