微分積分学準備例

$\sin (\frac{π}{12}) = \frac{1}{2} \sqrt{A - \sqrt{B}}$

ステップ 1

方程式を $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}} = \sin (\frac{π}{12})$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}} = \sin (\frac{π}{12})$

ステップ 2

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}) = 2 \sin (\frac{π}{12})$

ステップ 3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{A - \sqrt{B}}$ をまとめます。

$2 \frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} = 2 \sin (\frac{π}{12})$

ステップ 3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} = 2 \sin (\frac{π}{12})$

ステップ 3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \sin (\frac{π}{12})$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2 \sin (\frac{π}{12})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$\sin (\frac{π}{12})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{π}{12}$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

ステップ 3.2.1.1.2

角の差の公式を当てはめます。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 3.2.1.1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 3.2.1.1.4

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 3.2.1.1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 3.2.1.1.6

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 3.2.1.1.7

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.7.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.7.1.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 3.2.1.1.7.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 3.2.1.1.7.1.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 3.2.1.1.7.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 3.2.1.1.7.1.2

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.7.1.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

ステップ 3.2.1.1.7.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

ステップ 3.2.1.1.7.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 (2)}$

ステップ 3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{A - \sqrt{B}}}^{2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 5

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{A - \sqrt{B}}$ を ${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(A - \sqrt{B})}^{1} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

簡約します。

$A - \sqrt{B} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

${(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$A - \sqrt{B} = \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 5.3.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$A - \sqrt{B} = \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4}$

ステップ 5.3.1.1.3

${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ を $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ に書き換えます。

$A - \sqrt{B} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.2

$6$ に $6$ をかけます。

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.3

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.5

$\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.5.2

$6$ に $2$ をかけます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.6

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1.6.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.6.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.9

$- \sqrt{2} \sqrt{6}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1.9.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.9.2

$6$ に $2$ をかけます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.10

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1.10.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.10.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.11

累乗根の下から項を取り出します。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.12

$2$ に $- 1$ をかけます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.13

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1.13.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.13.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.13.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.13.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.13.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.13.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.14

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1.14.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.14.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.14.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.14.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1.14.4.1

共通因数を約分します。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.14.4.2

式を書き換えます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{4}$

ステップ 5.3.1.3.1.14.5

指数を求めます。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{4}$

ステップ 5.3.1.3.2

$6$ と $2$ をたし算します。

$A - \sqrt{B} = \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

ステップ 5.3.1.3.3

$- 2 \sqrt{3}$ から $2 \sqrt{3}$ を引きます。

$A - \sqrt{B} = \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{4}$

ステップ 5.3.1.4

$8 - 4 \sqrt{3}$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$A - \sqrt{B} = \frac{4 \cdot 2 - 4 \sqrt{3}}{4}$

ステップ 5.3.1.4.2

$4$ を $- 4 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$A - \sqrt{B} = \frac{4 \cdot 2 + 4 (- \sqrt{3})}{4}$

ステップ 5.3.1.4.3

$4$ を $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ で因数分解します。

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4}$

ステップ 5.3.1.4.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.4.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 (1)}$

ステップ 5.3.1.4.4.2

共通因数を約分します。

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.3.1.4.4.3

式を書き換えます。

$A - \sqrt{B} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

ステップ 5.3.1.4.4.4

$2 - \sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$A - \sqrt{B} = 2 - \sqrt{3}$

ステップ 6

方程式の両辺に $\sqrt{B}$ を足します。

$A = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{B}$

微分積分学準備 例

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