微分積分学準備例

$\ln (3 y + 5) - \ln (y - 1) = \ln (- 4 y + 10)$

ステップ 1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{3 y + 5}{y - 1}) = \ln (- 4 y + 10)$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y - 1, 1, 1$

ステップ 3.1.2

括弧を削除します。

$y - 1, 1, 1$

ステップ 3.1.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y - 1$

ステップ 3.2

$\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ の各項に $y - 1$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ の各項に $y - 1$ を掛けます。

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

ステップ 3.2.2.1.2

式を書き換えます。

$3 y + 5 = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$3 y + 5 = - 4 y \cdot y - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

ステップ 3.2.3.1.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 3.2.3.1.2.1

$y$ を移動させます。

$3 y + 5 = - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

ステップ 3.2.3.1.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$3 y + 5 = - 4 y^{2} - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

ステップ 3.2.3.1.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 (y - 1)$

ステップ 3.2.3.1.4

分配則を当てはめます。

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y + 10 \cdot - 1$

ステップ 3.2.3.1.5

$10$ に $- 1$ をかけます。

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y - 10$

ステップ 3.2.3.2

$4 y$ と $10 y$ をたし算します。

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 14 y - 10$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 = 3 y + 5$

ステップ 3.3.2

$y$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $3 y$ を引きます。

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 - 3 y = 5$

ステップ 3.3.2.2

$14 y$ から $3 y$ を引きます。

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 = 5$

ステップ 3.3.3

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 - 5 = 0$

ステップ 3.3.3.2

$- 10$ から $5$ を引きます。

$- 4 y^{2} + 11 y - 15 = 0$

ステップ 3.3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.3.5

$a = - 4$ 、 $b = 11$ 、および $c = - 15$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.3.6

簡約します。

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ステップ 3.3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.6.1.1

$11$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.3.6.1.2

$- 4 \cdot - 4 \cdot - 15$ を掛けます。

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ステップ 3.3.6.1.2.1

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 16 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.3.6.1.2.2

$16$ に $- 15$ をかけます。

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 240}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.3.6.1.3

$121$ から $240$ を引きます。

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.3.6.1.4

$- 119$ を $- 1 (119)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.3.6.1.5

$\sqrt{- 1 (119)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.3.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.3.6.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$

ステップ 3.3.6.3

$\frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$ を簡約します。

$y = \frac{11 \pm i \sqrt{119}}{8}$

ステップ 3.3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{11 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{11 - i \sqrt{119}}{8}$

微分積分学準備 例

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