微分積分学準備例

$f (x) = \frac{5 x^{4} + 3 x^{2} - x}{x^{3}}$

ステップ 1

$x$ を $5 x^{4} + 3 x^{2} - x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$x$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + 3 x^{2} - x}{x^{3}}]$

ステップ 1.2

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + x (3 x) - x}{x^{3}}]$

ステップ 1.3

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + x (3 x) + x \cdot - 1}{x^{3}}]$

ステップ 1.4

$x$ を $x (5 x^{3}) + x (3 x)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x) + x \cdot - 1}{x^{3}}]$

ステップ 1.5

$x$ を $x (5 x^{3} + 3 x) + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}]$

ステップ 2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x \cdot x^{2}}]$

ステップ 2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x \cdot x^{2}}]$

ステップ 2.3

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3} + 3 x - 1}{x^{2}}]$

ステップ 3

$f (x) = 5 x^{3} + 3 x - 1$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2

総和則では、 $5 x^{3} + 3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.5

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.8

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 + 0) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.10

$15 x^{2} + 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - (5 x^{3} + 3 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 4.12

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.12.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 4.12.2

$x$ を $x^{2} (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x$ で因数分解します。

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ステップ 4.12.2.1

$x$ を $x^{2} (15 x^{2} + 3)$ で因数分解します。

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3)) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 4.12.2.2

$x$ を $- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x$ で因数分解します。

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3)) + x (- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x^{4}}$

ステップ 4.12.2.3

$x$ を $x (x (15 x^{2} + 3)) + x (- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))$ で因数分解します。

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x^{4}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (15 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (15 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{15 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 6.3.1.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{15 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 6.3.1.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 6.3.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{15 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 6.3.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{15 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 6.3.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{15 x^{3} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 6.3.1.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{15 x^{3} + 3 \cdot x - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 6.3.1.4

$5$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 6.3.1.5

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 6 x - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 6.3.1.6

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 6 x + 2}{x^{3}}$

ステップ 6.3.2

$15 x^{3}$ から $10 x^{3}$ を引きます。

$\frac{5 x^{3} + 3 x - 6 x + 2}{x^{3}}$

ステップ 6.3.3

$3 x$ から $6 x$ を引きます。

$\frac{5 x^{3} - 3 x + 2}{x^{3}}$

微分積分学準備 例

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