微分積分学準備例

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 16 y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を $4$ で割ります。

$x^{2} + y^{2} + 3 x - 4 y = 0$

ステップ 2

$x^{2} + 3 x$ の平方完成。

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ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 3$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{3}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$d = \frac{3}{2}$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{9}{4}$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $\frac{9}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{9}{4}$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ に代入します。

${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

ステップ 3

${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ を方程式 $x^{2} + y^{2} + 3 x - 4 y = 0$ の中の $x^{2} + 3 x$ に代入します。

${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y^{2} - 4 y = 0$

ステップ 4

両辺に $\frac{9}{4}$ を加えて、 $- \frac{9}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} - 4 y = 0 + \frac{9}{4}$

ステップ 5

$y^{2} - 4 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{1}$

ステップ 5.3.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$d = - 2$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

${(- 4)}^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.1.2

積の法則を $- 1 (4)$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.1.4

$4^{2}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.1.5

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1.6.1

$4$ を $4 \cdot 1$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

ステップ 5.4.2.1.1.6.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.1.6.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{4}{1}$

ステップ 5.4.2.1.1.6.4

$4$ を $1$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 5.4.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - 4$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$e = - 4$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y - 2)}^{2} - 4$ に代入します。

${(y - 2)}^{2} - 4$

ステップ 6

${(y - 2)}^{2} - 4$ を方程式 $x^{2} + y^{2} + 3 x - 4 y = 0$ の中の $y^{2} - 4 y$ に代入します。

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 4 = 0 + \frac{9}{4}$

ステップ 7

両辺に $4$ を加えて、 $- 4$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 0 + \frac{9}{4} + 4$

ステップ 8

$0 + \frac{9}{4} + 4$ を簡約します。

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ステップ 8.1

$0$ と $\frac{9}{4}$ をたし算します。

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{9}{4} + 4$

ステップ 8.2

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{9}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 8.3

$4$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{9}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

ステップ 8.4

公分母の分子をまとめます。

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{9 + 4 \cdot 4}{4}$

ステップ 8.5

分子を簡約します。

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ステップ 8.5.1

$4$ に $4$ をかけます。

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{9 + 16}{4}$

ステップ 8.5.2

$9$ と $16$ をたし算します。

${(x + \frac{3}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{25}{4}$

微分積分学準備 例

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