微分積分学準備例

$x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$

ステップ 1

$x^{2} - \frac{1}{2} x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x^{2} - \frac{x}{2}$

ステップ 1.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = 0$

ステップ 1.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- 1$ と $1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$d = \frac{- 1 (1) \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2.1.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

ステップ 1.4.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.4.2.3

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$d = - \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$d = - \frac{1}{4}$

ステップ 1.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2.1.1.3

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2.1.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2.1.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2.1.1.6

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

ステップ 1.5.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 1.5.2.1.4

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.4.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.5.2.1.4.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{16}$

ステップ 1.5.2.2

$0$ から $\frac{1}{16}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{16}$

ステップ 1.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ に代入します。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

ステップ 2

${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ を方程式 $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$ の中の $x^{2} - \frac{1}{2} x$ に代入します。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + y^{2} + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$

ステップ 3

両辺に $\frac{1}{16}$ を加えて、 $- \frac{1}{16}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

ステップ 4

$y^{2} + \frac{1}{2} y$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ と $y$ をまとめます。

$y^{2} + \frac{y}{2}$

ステップ 4.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 0$

ステップ 4.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 4.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2.2

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.2.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.4.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$d = \frac{1}{4}$

ステップ 4.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.1.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.1.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

ステップ 4.5.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 4.5.2.1.4

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.4.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

ステップ 4.5.2.1.4.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{16}$

ステップ 4.5.2.2

$0$ から $\frac{1}{16}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{16}$

ステップ 4.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ に代入します。

${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

ステップ 5

${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ を方程式 $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$ の中の $y^{2} + \frac{1}{2} y$ に代入します。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

ステップ 6

両辺に $\frac{1}{16}$ を加えて、 $- \frac{1}{16}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$

ステップ 7

$\frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

公分母の分子をまとめます。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1 + 1}{16}$

ステップ 7.2

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2}{16}$

ステップ 7.3

$2$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 (1)}{16}$

ステップ 7.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

ステップ 7.3.2.2

共通因数を約分します。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

ステップ 7.3.2.3

式を書き換えます。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

ステップ 7.4

公分母の分子をまとめます。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1 + 1}{8}$

ステップ 7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2}{8}$

ステップ 7.6

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 (1)}{8}$

ステップ 7.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.6.2.2

共通因数を約分します。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.6.2.3

式を書き換えます。

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{4}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例