微分積分学準備例

$y^{2} - 4 y + 4 = x - 7$

ステップ 1

$y$ について解きます。

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ステップ 1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 1.1.1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$y^{2} - 4 y + 4 - x = - 7$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$y^{2} - 4 y + 4 - x + 7 = 0$

ステップ 1.1.2

$4$ と $7$ をたし算します。

$y^{2} - 4 y - x + 11 = 0$

ステップ 1.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.3

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = - x + 11$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x + 11))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.1.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.1.2

$- 4$ を $- 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x + 11))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.1.3

$- 4$ を $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x + 11))$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- x + 11))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.2

$- x + 11$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3

$- 4$ と $11$ をたし算します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.4

$- 4 (- x + 7)$ を $2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))$ に書き換えます。

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ステップ 1.4.1.4.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.4.3

括弧を付けます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2}$

ステップ 1.4.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2}$ を簡約します。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

ステップ 1.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.1.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.1.2

$- 4$ を $- 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x + 11))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.1.3

$- 4$ を $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x + 11))$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- x + 11))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.2

$- x + 11$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3

$- 4$ と $11$ をたし算します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.4

$- 4 (- x + 7)$ を $2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))$ に書き換えます。

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ステップ 1.5.1.4.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.4.3

括弧を付けます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2}$

ステップ 1.5.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2}$ を簡約します。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

ステップ 1.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

ステップ 1.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)$ で因数分解します。

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ステップ 1.6.1.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.1.1.2

$- 4$ を $- 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x + 11))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.1.1.3

$- 4$ を $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x + 11))$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- x + 11))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.1.2

$- x + 11$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.1.3

$- 4$ と $11$ をたし算します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.1.4

$- 4 (- x + 7)$ を $2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))$ に書き換えます。

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ステップ 1.6.1.4.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.1.4.3

括弧を付けます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2}$

ステップ 1.6.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2}$ を簡約します。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

ステップ 1.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

ステップ 1.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

ステップ 2

多項式を標準形で書くために、簡約し、項を降順に並べます。

$y = a x^{2} + b x + c$

ステップ 3

$- 1 (- x + 7)$ を $- (- x + 7)$ に書き換えます。

$y = 2 + \sqrt{- (- x + 7)}$

$y = 2 - \sqrt{- (- x + 7)}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例