微分積分学準備例

$y = (- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 3 x^{2} + 2)$

ステップ 1

$f (x) = - 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4$ および $g (x) = - 3 x^{2} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 2] + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

ステップ 2

総和則では、 $- 3 x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

ステップ 3.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x + 0) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

ステップ 4.2

$- 6 x$ と $0$ をたし算します。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

ステップ 4.3

総和則では、 $- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 5

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{4}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 5.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 5.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 6

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 6.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 6.3

$2$ に $5$ をかけます。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 7

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 7.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x + 0)$

ステップ 7.2

$- 8 x^{3} + 10 x$ と $0$ をたし算します。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x)$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3}) + (- 3 x^{2} + 2) (10 x)$

ステップ 8.3

分配則を当てはめます。

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) + (- 3 x^{2} + 2) (10 x)$

ステップ 8.4

分配則を当てはめます。

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5

項をまとめます。

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ステップ 8.5.1

$- 6$ に $- 2$ をかけます。

$12 x^{4} x + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$12 (x^{1} x^{4}) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 x^{1 + 4} + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.4

$1$ と $4$ をたし算します。

$12 x^{5} + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.5

$- 6$ に $5$ をかけます。

$12 x^{5} - 30 x^{2} x + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.6

$x$ を $1$ 乗します。

$12 x^{5} - 30 (x^{1} x^{2}) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 x^{5} - 30 x^{1 + 2} + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.8

$1$ と $2$ をたし算します。

$12 x^{5} - 30 x^{3} + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.9

$- 6$ に $4$ をかけます。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.10

$- 8$ に $- 3$ をかけます。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{2} x^{3} + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.11

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.11.1

$x^{3}$ を移動させます。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 (x^{3} x^{2}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.11.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{3 + 2} + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.11.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.12

$- 8$ に $2$ をかけます。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.13

$10$ に $- 3$ をかけます。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{2} x + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.14

$x$ を $1$ 乗します。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 (x^{1} x^{2}) + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{1 + 2} + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.16

$1$ と $2$ をたし算します。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{3} + 2 (10 x)$

ステップ 8.5.17

$10$ に $2$ をかけます。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{3} + 20 x$

ステップ 8.5.18

$- 16 x^{3}$ から $30 x^{3}$ を引きます。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 46 x^{3} + 20 x$

ステップ 8.5.19

$12 x^{5}$ と $24 x^{5}$ をたし算します。

$36 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x - 46 x^{3} + 20 x$

ステップ 8.5.20

$- 30 x^{3}$ から $46 x^{3}$ を引きます。

$36 x^{5} - 76 x^{3} - 24 x + 20 x$

ステップ 8.5.21

$- 24 x$ と $20 x$ をたし算します。

$36 x^{5} - 76 x^{3} - 4 x$

微分積分学準備 例

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