微分積分学準備例

$x^{2} + 9 > 6 x$

ステップ 1

不等式の両辺から $6 x$ を引きます。

$x^{2} + 9 - 6 x > 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + 9 - 6 x = 0$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

ステップ 3.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

ステップ 3.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 3.4

多項式を書き換えます。

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

ステップ 3.5

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 4

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 3$

$x > 3$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} + 9 > 6 (0)$

ステップ 7.1.3

左辺 $9$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

真

ステップ 7.2

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{2} + 9 > 6 (6)$

ステップ 7.2.3

左辺 $45$ は右辺 $36$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

真

ステップ 7.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 3$ 真

$x > 3$ 真

$x < 3$ 真

$x > 3$ 真

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$x < 3$ または $x > 3$

ステップ 9

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 10

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$