微分積分学準備例

$4 x^{3} - 15 x^{2} \leq 25 x$

ステップ 1

不等式の両辺から $25 x$ を引きます。

$4 x^{3} - 15 x^{2} - 25 x \leq 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$4 x^{3} - 15 x^{2} - 25 x = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $4 x^{3} - 15 x^{2} - 25 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$x (4 x^{2}) - 15 x^{2} - 25 x = 0$

ステップ 3.1.2

$x$ を $- 15 x^{2}$ で因数分解します。

$x (4 x^{2}) + x (- 15 x) - 25 x = 0$

ステップ 3.1.3

$x$ を $- 25 x$ で因数分解します。

$x (4 x^{2}) + x (- 15 x) + x \cdot - 25 = 0$

ステップ 3.1.4

$x$ を $x (4 x^{2}) + x (- 15 x)$ で因数分解します。

$x (4 x^{2} - 15 x) + x \cdot - 25 = 0$

ステップ 3.1.5

$x$ を $x (4 x^{2} - 15 x) + x \cdot - 25$ で因数分解します。

$x (4 x^{2} - 15 x - 25) = 0$

ステップ 3.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot - 25 = - 100$ で和が $b = - 15$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$- 15$ を $- 15 x$ で因数分解します。

$x (4 x^{2} - 15 x - 25) = 0$

ステップ 3.2.1.1.2

$- 15$ を $5$ プラス $- 20$ に書き換える

$x (4 x^{2} + (5 - 20) x - 25) = 0$

ステップ 3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$x (4 x^{2} + 5 x - 20 x - 25) = 0$

ステップ 3.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x ((4 x^{2} + 5 x) - 20 x - 25) = 0$

ステップ 3.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (x (4 x + 5) - 5 (4 x + 5)) = 0$

ステップ 3.2.1.3

最大公約数 $4 x + 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x ((4 x + 5) (x - 5)) = 0$

ステップ 3.2.2

不要な括弧を削除します。

$x (4 x + 5) (x - 5) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$4 x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 5

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6

$4 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$4 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$4 x + 5 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $4 x + 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$4 x = - 5$

ステップ 6.2.2

$4 x = - 5$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$4 x = - 5$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{4}$

ステップ 6.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{4}$

ステップ 7

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 8

最終解は $x (4 x + 5) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{5}{4}, 5$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{5}{4}$

$- \frac{5}{4} < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

区間 $x < - \frac{5}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

区間 $x < - \frac{5}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$4 {(- 4)}^{3} - 15 {(- 4)}^{2} \leq 25 (- 4)$

ステップ 10.1.3

左辺 $- 496$ は右辺 $- 100$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.2

区間 $- \frac{5}{4} < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

区間 $- \frac{5}{4} < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1$ で置き換えます。

$4 {(- 1)}^{3} - 15 {(- 1)}^{2} \leq 25 (- 1)$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 19$ は右辺 $- 25$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.3

区間 $0 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

区間 $0 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$4 {(2)}^{3} - 15 {(2)}^{2} \leq 25 (2)$

ステップ 10.3.3

左辺 $- 28$ は右辺 $50$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.4

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 10.4.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$4 {(8)}^{3} - 15 {(8)}^{2} \leq 25 (8)$

ステップ 10.4.3

左辺 $1088$ は右辺 $200$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{5}{4}$ 真

$- \frac{5}{4} < x < 0$ 偽

$0 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

$x < - \frac{5}{4}$ 真

$- \frac{5}{4} < x < 0$ 偽

$0 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - \frac{5}{4}$ または $0 \leq x \leq 5$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - \frac{5}{4}] \cup [0, 5]$

ステップ 13

微分積分学準備 例

微分積分学準備例