微分積分学準備例

$2 x^{3} - 32 x < x^{2} - 16$

ステップ 1

不等式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} < - 16$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} = - 16$

ステップ 3

方程式の両辺に $16$ を足します。

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} + 16 = 0$

ステップ 4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$2 x^{3} - x^{2} - 32 x + 16 = 0$

ステップ 4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{3} - x^{2}) - 32 x + 16 = 0$

ステップ 4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (2 x - 1) - 16 (2 x - 1) = 0$

ステップ 4.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x - 1) (x^{2} - 16) = 0$

ステップ 4.4

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$(2 x - 1) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

ステップ 4.5

因数分解。

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ステップ 4.5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$(2 x - 1) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

ステップ 4.5.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 6

$2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $2 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 6.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 7

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 8

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 9

最終解は $(2 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{2}, - 4, 4$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$2 {(- 6)}^{3} - 32 \cdot - 6 < {(- 6)}^{2} - 16$

ステップ 11.1.3

左辺 $- 240$ は右辺 $20$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.2

区間 $- 4 < x < \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- 4 < x < \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$2 {(0)}^{3} - 32 \cdot 0 < {(0)}^{2} - 16$

ステップ 11.2.3

左辺 $0$ は右辺 $- 16$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.3

区間 $\frac{1}{2} < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $\frac{1}{2} < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$2 {(2)}^{3} - 32 \cdot 2 < {(2)}^{2} - 16$

ステップ 11.3.3

左辺 $- 48$ は右辺 $- 12$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 11.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$2 {(6)}^{3} - 32 \cdot 6 < {(6)}^{2} - 16$

ステップ 11.4.3

左辺 $240$ は右辺 $20$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < \frac{1}{2}$ 偽

$\frac{1}{2} < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < \frac{1}{2}$ 偽

$\frac{1}{2} < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 4$ または $\frac{1}{2} < x < 4$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 4) \cup (\frac{1}{2}, 4)$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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