微分積分学準備例

$\sqrt{2 x + 6}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{2 y + 6}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\sqrt{2 y + 6} = x$ として書き換えます。

$\sqrt{2 y + 6} = x$

ステップ 2.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 y + 6}}^{2} = x^{2}$

ステップ 2.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 y + 6}$ を ${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 y + 6)}^{1} = x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

簡約します。

$2 y + 6 = x^{2}$

ステップ 2.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$2 y = x^{2} - 6$

ステップ 2.4.2

$2 y = x^{2} - 6$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$2 y = x^{2} - 6$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

ステップ 2.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

ステップ 2.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

ステップ 2.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1

$- 6$ を $2$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{2} - 3$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$ が $f (x) = \sqrt{2 x + 6}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(\sqrt{2 x + 6})}^{2}}{2} - 3$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

$2$ を $2 x + 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 (x) + 6}}^{2}}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.1.1.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 x + 2 \cdot 3}}^{2}}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.1.1.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot 3$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 (x + 3)}}^{2}}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.1.2

${\sqrt{2 (x + 3)}}^{2}$ を $2 (x + 3)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 (x + 3)}$ を ${(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{({(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{2}{2}}}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{2}{2}}}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.1.2.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 2 \cdot 3}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.1.4

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 6}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.1.5

$2$ を $2 x + 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.5.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x) + 6}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.1.5.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 2 \cdot 3}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.1.5.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot 3$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

ステップ 4.2.3.2.2

$x + 3$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x + 3 - 3$

ステップ 4.2.4

$x + 3 - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x + 0$

ステップ 4.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{2}}{2} - 3)$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 6}$

ステップ 4.3.3

$2$ を $2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 2 \cdot 3}$

ステップ 4.3.3.2

$2$ を $2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 2 \cdot 3$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3 + 3)}$

ステップ 4.3.4

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

ステップ 4.3.4.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

ステップ 4.3.5

$2$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

ステップ 4.3.6

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.3.6.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 x^{2}}{2}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

ステップ 4.3.6.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

ステップ 4.3.6.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{x^{2}}$

ステップ 4.3.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$ は $f (x) = \sqrt{2 x + 6}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$

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