微分積分学準備例

$y = x^{3} - 7$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = y^{3} - 7$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $y^{3} - 7 = x$ として書き換えます。

$y^{3} - 7 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$y^{3} = x + 7$

ステップ 2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{x + 7}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 7}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 7}$ が $f (x) = x^{3} - 7$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (x^{3} - 7)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (x^{3} - 7) = \sqrt[3]{(x^{3} - 7) + 7}$

ステップ 4.2.3

$- 7$ と $7$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{3} - 7) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

ステップ 4.2.4

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{3} - 7) = \sqrt[3]{x^{3}}$

ステップ 4.2.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (x^{3} - 7) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[3]{x + 7})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = {(\sqrt[3]{x + 7})}^{3} - 7$

ステップ 4.3.3

${\sqrt[3]{x + 7}}^{3}$ を $x + 7$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x + 7}$ を ${(x + 7)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = {({(x + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 7$

ステップ 4.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 7$

ステップ 4.3.3.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{3}{3}} - 7$

ステップ 4.3.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{3}{3}} - 7$

ステップ 4.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = (x + 7) - 7$

ステップ 4.3.3.5

簡約します。

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = x + 7 - 7$

ステップ 4.3.4

$x + 7 - 7$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.4.1

$7$ から $7$ を引きます。

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = x + 0$

ステップ 4.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt[3]{x + 7}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 7}$ は $f (x) = x^{3} - 7$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 7}$

微分積分学準備 例

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