微分積分学準備例

$y = 10^{x}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 10^{y}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $10^{y} = x$ として書き換えます。

$10^{y} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の底 $10$ 対数をとり、指数から変数を削除します。

$\log (10^{y}) = \log (x)$

ステップ 2.3

左辺を展開します。

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ステップ 2.3.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\log (10^{y})$ を展開します。

$y \log (10) = \log (x)$

ステップ 2.3.2

$10$ の対数の底 $10$ は $1$ です。

$y \cdot 1 = \log (x)$

ステップ 2.3.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \log (x)$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \log (x)$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \log (x)$ が $f (x) = 10^{x}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} \cdot 10^{x}$ の値を求めます。

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = \log (10^{x})$

ステップ 4.2.3

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = x \log (10)$

ステップ 4.2.4

$10$ の対数の底 $10$ は $1$ です。

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = x \cdot 1$

ステップ 4.2.5

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\log (x))$ の値を求めます。

$f (\log (x)) = 10^{\log (x)}$

ステップ 4.3.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\log (x)) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \log (x)$ は $f (x) = 10^{x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \log (x)$

微分積分学準備 例

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