微分積分学準備例

${(y + 4)}^{2} = 12 (x - 5)$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $x$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

方程式を $12 (x - 5) = {(y + 4)}^{2}$ として書き換えます。

$12 (x - 5) = {(y + 4)}^{2}$

ステップ 1.1.2

$12 (x - 5) = {(y + 4)}^{2}$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$12 (x - 5) = {(y + 4)}^{2}$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 (x - 5)}{12} = \frac{{(y + 4)}^{2}}{12}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 (x - 5)}{12} = \frac{{(y + 4)}^{2}}{12}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$x - 5$ を $1$ で割ります。

$x - 5 = \frac{{(y + 4)}^{2}}{12}$

ステップ 1.1.3

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = \frac{{(y + 4)}^{2}}{12} + 5$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y + 4)}^{2} + 5$

ステップ 1.2

$\frac{1}{12} \cdot {(y + 4)}^{2} + 5$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1.1

${(y + 4)}^{2}$ を $(y + 4) (y + 4)$ に書き換えます。

$\frac{1}{12} \cdot ((y + 4) (y + 4)) + 5$

ステップ 1.2.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(y + 4) (y + 4)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{12} \cdot (y (y + 4) + 4 (y + 4)) + 5$

ステップ 1.2.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot 4 + 4 (y + 4)) + 5$

ステップ 1.2.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4) + 5$

ステップ 1.2.1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.2.1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.3.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4) + 5$

ステップ 1.2.1.1.3.1.2

$4$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} + 4 \cdot y + 4 y + 4 \cdot 4) + 5$

ステップ 1.2.1.1.3.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} + 4 y + 4 y + 16) + 5$

ステップ 1.2.1.1.3.2

$4 y$ と $4 y$ をたし算します。

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} + 8 y + 16) + 5$

ステップ 1.2.1.1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{12} y^{2} + \frac{1}{12} (8 y) + \frac{1}{12} \cdot 16 + 5$

ステップ 1.2.1.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.5.1

$\frac{1}{12}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{12} (8 y) + \frac{1}{12} \cdot 16 + 5$

ステップ 1.2.1.1.5.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.5.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{4 (3)} (8 y) + \frac{1}{12} \cdot 16 + 5$

ステップ 1.2.1.1.5.2.2

$4$ を $8 y$ で因数分解します。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{4 (3)} (4 (2 y)) + \frac{1}{12} \cdot 16 + 5$

ステップ 1.2.1.1.5.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{4 \cdot 3} (4 (2 y)) + \frac{1}{12} \cdot 16 + 5$

ステップ 1.2.1.1.5.2.4

式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{3} (2 y) + \frac{1}{12} \cdot 16 + 5$

ステップ 1.2.1.1.5.3

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2}{3} y + \frac{1}{12} \cdot 16 + 5$

ステップ 1.2.1.1.5.4

$\frac{2}{3}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3} + \frac{1}{12} \cdot 16 + 5$

ステップ 1.2.1.1.5.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.5.5.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3} + \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 + 5$

ステップ 1.2.1.1.5.5.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3} + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + 5$

ステップ 1.2.1.1.5.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3} + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + 5$

ステップ 1.2.1.1.5.5.4

式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} \cdot 4 + 5$

ステップ 1.2.1.1.5.6

$\frac{1}{3}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3} + 5$

ステップ 1.2.1.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 1.2.1.3

$5$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3} + \frac{4 + 5 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.2.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.5.1

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3} + \frac{4 + 15}{3}$

ステップ 1.2.1.5.2

$4$ と $15$ をたし算します。

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3} + \frac{19}{3}$

ステップ 1.2.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{12}$

$b = \frac{2}{3}$

$c = \frac{19}{3}$

ステップ 1.2.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (\frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{12}}$

ステップ 1.2.4.2.3

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{\frac{1}{12}}$ をかけます。

$d = \frac{1}{3 (\frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.4.2.4

$3$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$d = \frac{1}{\frac{3}{12}}$

ステップ 1.2.4.2.5

$3$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.5.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$d = \frac{1}{\frac{3 (1)}{12}}$

ステップ 1.2.4.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.5.2.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}}$

ステップ 1.2.4.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}}$

ステップ 1.2.4.2.5.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.2.4.2.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = 1 \cdot 4$

ステップ 1.2.4.2.7

$4$ に $1$ をかけます。

$d = 4$

ステップ 1.2.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{19}{3} - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1.1.1

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$e = \frac{19}{3} - \frac{\frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.5.2.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{19}{3} - \frac{\frac{4}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.5.2.1.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{19}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (\frac{1}{12})}$

ステップ 1.2.5.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$e = \frac{19}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4}{12}}$

ステップ 1.2.5.2.1.3

$4$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.3.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$e = \frac{19}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 (1)}{12}}$

ステップ 1.2.5.2.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.3.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$e = \frac{19}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

ステップ 1.2.5.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{19}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

ステップ 1.2.5.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = \frac{19}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.5.2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = \frac{19}{3} - (\frac{4}{9} \cdot 3)$

ステップ 1.2.5.2.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.5.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$e = \frac{19}{3} - (\frac{4}{3 (3)} \cdot 3)$

ステップ 1.2.5.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{19}{3} - (\frac{4}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

ステップ 1.2.5.2.1.5.3

式を書き換えます。

$e = \frac{19}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 1.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{19 - 4}{3}$

ステップ 1.2.5.2.3

$19$ から $4$ を引きます。

$e = \frac{15}{3}$

ステップ 1.2.5.2.4

$15$ を $3$ で割ります。

$e = 5$

ステップ 1.2.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{12} {(y + 4)}^{2} + 5$ に代入します。

$\frac{1}{12} {(y + 4)}^{2} + 5$

ステップ 1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y + 4)}^{2} + 5$

ステップ 2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{12}$

$h = 5$

$k = - 4$

ステップ 3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(5, - 4)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{12}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$4$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{12}}$

ステップ 5.3.2

$4$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

ステップ 5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \cdot 3$

ステップ 5.3.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(8, - 4)$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = - 4$

ステップ 8

微分積分学準備 例

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