微分積分学準備例

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24$

ステップ 1

x切片を求めます。

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ステップ 1.1

x切片を求めるために、 $0$ を $y$ に代入し $x$ を解きます。

$0 = x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24$

ステップ 1.2

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式を $x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24 = 0$ として書き換えます。

$x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

項を再分類します。

$- x^{3} + 2 x + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

ステップ 1.2.2.2

$- x$ を $- x^{3} + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$- x$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$- x \cdot x^{2} + 2 x + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

$- x$ を $2 x$ で因数分解します。

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 2 + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

ステップ 1.2.2.2.3

$- x$ を $- x (x^{2}) - x (- 2)$ で因数分解します。

$- x (x^{2} - 2) + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

ステップ 1.2.2.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 24 = 0$

ステップ 1.2.2.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- x (x^{2} - 2) + u^{2} - 14 u + 24 = 0$

ステップ 1.2.2.5

たすき掛けを利用して $u^{2} - 14 u + 24$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $24$ で、その和が $- 14$ です。

$- 12, - 2$

ステップ 1.2.2.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- x (x^{2} - 2) + (u - 12) (u - 2) = 0$

ステップ 1.2.2.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 1.2.2.7

$x^{2} - 2$ を $- x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2)$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.7.1

$x^{2} - 2$ を $- x (x^{2} - 2)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 1.2.2.7.2

$x^{2} - 2$ を $(x^{2} - 12) (x^{2} - 2)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 12) = 0$

ステップ 1.2.2.7.3

$x^{2} - 2$ を $(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 12)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 2) (- x + x^{2} - 12) = 0$

ステップ 1.2.2.8

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x^{2} - 2) (- u + u^{2} - 12) = 0$

ステップ 1.2.2.9

たすき掛けを利用して $- u + u^{2} - 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $- 1$ です。

$- 4, 3$

ステップ 1.2.2.9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x^{2} - 2) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

ステップ 1.2.2.10

因数分解。

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ステップ 1.2.2.10.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.2.10.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 3) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.4

$x^{2} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$x^{2} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 1.2.4.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.4.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 1.2.4.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 1.2.4.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 1.2.6

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.6.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.6.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 1.2.7

最終解は $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 3$

ステップ 1.3

点形式のx切片です。

x切片： $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0), (4, 0), (- 3, 0)$

ステップ 2

y切片を求めます。

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ステップ 2.1

y切片を求めるために、 $0$ を $x$ に代入し $y$ を解きます。

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

ステップ 2.2

方程式を解きます。

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ステップ 2.2.1

括弧を削除します。

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

ステップ 2.2.2

括弧を削除します。

$y = 0^{4} - 0^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

ステップ 2.2.3

括弧を削除します。

$y = 0^{4} - 0^{3} - 14 \cdot 0^{2} + 2 (0) + 24$

ステップ 2.2.4

括弧を削除します。

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

ステップ 2.2.5

${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$ を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

ステップ 2.2.5.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 0 - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

ステップ 2.2.5.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

ステップ 2.2.5.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 + 0 - 14 \cdot 0 + 2 (0) + 24$

ステップ 2.2.5.1.5

$- 14$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 + 0 + 2 (0) + 24$

ステップ 2.2.5.1.6

$2$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 24$

ステップ 2.2.5.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 + 0 + 0 + 24$

ステップ 2.2.5.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 + 0 + 24$

ステップ 2.2.5.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 + 24$

ステップ 2.2.5.2.4

$0$ と $24$ をたし算します。

$y = 24$

ステップ 2.3

点形式のy切片です。

y切片： $(0, 24)$

ステップ 3

交点を一覧にします。

x切片： $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0), (4, 0), (- 3, 0)$

y切片： $(0, 24)$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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