微分積分学準備例

$\sum_{i = 1}^{6} 12 {(\frac{5}{6})}^{i - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{i}$ と $a_{i + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{12 {(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}}{12 {(\frac{5}{6})}^{i - 1}}$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{12 {(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}}{12 {(\frac{5}{6})}^{i - 1}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{5}{6})}^{i - 1}}$

ステップ 2.2.2

${(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}$ と ${(\frac{5}{6})}^{i - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${(\frac{5}{6})}^{i - 1}$ を ${(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} {(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{5}{6})}^{i - 1}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} {(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} {(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

${(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$

ステップ 2.2.3

$i$ と $0$ をたし算します。

$r = {(\frac{5}{6})}^{i - (i - 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = {(\frac{5}{6})}^{i - i - - 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(\frac{5}{6})}^{i - i + 1}$

ステップ 2.2.5

$i$ から $i$ を引きます。

$r = {(\frac{5}{6})}^{0 + 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(\frac{5}{6})}^{1}$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$r = \frac{5}{6}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$i$ の $1$ を $12 {(\frac{5}{6})}^{i - 1}$ に代入します。

$a = 12 {(\frac{5}{6})}^{1 - 1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = 12 {(\frac{5}{6})}^{0}$

ステップ 3.2.2

積の法則を $\frac{5}{6}$ に当てはめます。

$a = 12 \frac{5^{0}}{6^{0}}$

ステップ 3.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 12 \frac{1}{6^{0}}$

ステップ 3.2.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 12 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.5

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.1

共通因数を約分します。

$a = 12 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.5.2

式を書き換えます。

$a = 12 \cdot 1$

ステップ 3.2.6

$12$ に $1$ をかけます。

$a = 12$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$12 \frac{1 - {(\frac{5}{6})}^{6}}{1 - \frac{5}{6}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分数の分子と分母に $6$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{5}{6})}^{6}}{1 - \frac{5}{6}}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$12 (\frac{6}{6} \cdot \frac{1 - {(\frac{5}{6})}^{6}}{1 - \frac{5}{6}})$

ステップ 5.1.2

まとめる。

$12 \frac{6 (1 - {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 (1 - \frac{5}{6})}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$12 \frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 + 6 (- \frac{5}{6})}$

ステップ 5.3

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$- \frac{5}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$12 \frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 5}{6})}$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

$12 \frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 5}{6})}$

ステップ 5.3.3

式を書き換えます。

$12 \frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$6$ に $1$ をかけます。

$12 \frac{6 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4.2

積の法則を $\frac{5}{6}$ に当てはめます。

$12 \frac{6 + 6 (- \frac{5^{6}}{6^{6}})}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4.3

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1

$- \frac{5^{6}}{6^{6}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$12 \frac{6 + 6 \frac{- 5^{6}}{6^{6}}}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4.3.2

$6$ を $6^{6}$ で因数分解します。

$12 \frac{6 + 6 \frac{- 5^{6}}{6 \cdot 6^{5}}}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4.3.3

共通因数を約分します。

$12 \frac{6 + 6 \frac{- 5^{6}}{6 \cdot 6^{5}}}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4.3.4

式を書き換えます。

$12 \frac{6 + \frac{- 5^{6}}{6^{5}}}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4.4

$5$ を $6$ 乗します。

$12 \frac{6 + \frac{- 1 \cdot 15625}{6^{5}}}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4.5

$6$ を $5$ 乗します。

$12 \frac{6 + \frac{- 1 \cdot 15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4.6

$- 1$ に $15625$ をかけます。

$12 \frac{6 + \frac{- 15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$12 \frac{6 - \frac{15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4.8

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7776}{7776}$ を掛けます。

$12 \frac{6 \cdot \frac{7776}{7776} - \frac{15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4.9

$6$ と $\frac{7776}{7776}$ をまとめます。

$12 \frac{\frac{6 \cdot 7776}{7776} - \frac{15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4.10

公分母の分子をまとめます。

$12 \frac{\frac{6 \cdot 7776 - 15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4.11

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.11.1

$6$ に $7776$ をかけます。

$12 \frac{\frac{46656 - 15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.4.11.2

$46656$ から $15625$ を引きます。

$12 \frac{\frac{31031}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

ステップ 5.5

分母を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$6$ に $1$ をかけます。

$12 \frac{\frac{31031}{7776}}{6 - 5}$

ステップ 5.5.2

$6$ から $5$ を引きます。

$12 \frac{\frac{31031}{7776}}{1}$

ステップ 5.6

$\frac{31031}{7776}$ を $1$ で割ります。

$12 (\frac{31031}{7776})$

ステップ 5.7

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.1

$12$ を $7776$ で因数分解します。

$12 \frac{31031}{12 (648)}$

ステップ 5.7.2

共通因数を約分します。

$12 \frac{31031}{12 \cdot 648}$

ステップ 5.7.3

式を書き換えます。

$\frac{31031}{648}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{31031}{648}$

10進法形式：

$47.88734567 \dots$

帯分数形：

$47 \frac{575}{648}$

微分積分学準備 例

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