微分積分学準備例

$e^{2 x} - 5 e^{x} + 6$

ステップ 1

$e^{2 x} - 5 e^{x} + 6$ が $0$ に等しいとします。

$e^{2 x} - 5 e^{x} + 6 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 6 = 0$

ステップ 2.1.2

$u = e^{x}$ とします。 $u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u^{2} - 5 u + 6 = 0$

ステップ 2.1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 5 u + 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $- 5$ です。

$- 3, - 2$

ステップ 2.1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 3) (u - 2) = 0$

$(u - 3) (u - 2) = 0$

ステップ 2.1.4

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$(e^{x} - 3) (e^{x} - 2) = 0$

$(e^{x} - 3) (e^{x} - 2) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} - 3 = 0$

$e^{x} - 2 = 0$

ステップ 2.3

$e^{x} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$e^{x} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} - 3 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $e^{x} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$e^{x} = 3$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

ステップ 2.3.2.3

左辺を展開します。

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ステップ 2.3.2.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (3)$

ステップ 2.3.2.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (3)$

ステップ 2.3.2.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (3)$

$x = \ln (3)$

$x = \ln (3)$

$x = \ln (3)$

ステップ 2.4

$e^{x} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$e^{x} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} - 2 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $e^{x} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$e^{x} = 2$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

ステップ 2.4.2.3

左辺を展開します。

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ステップ 2.4.2.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (2)$

ステップ 2.4.2.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (2)$

ステップ 2.4.2.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (2)$

$x = \ln (2)$

$x = \ln (2)$

$x = \ln (2)$

ステップ 2.5

最終解は $(e^{x} - 3) (e^{x} - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \ln (3), \ln (2)$

$x = \ln (3), \ln (2)$

ステップ 3

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$