微分積分学準備例

$x = 2 \sin (t)$ , $y = 2 \cos (t)$

ステップ 1

$x (t)$ につて媒介変数方程式を設定し、 $t$ について方程式を解きます。

$x = 2 \sin (t)$

ステップ 2

方程式を $2 \sin (t) = x$ として書き換えます。

$2 \sin (t) = x$

ステップ 3

$2 \sin (t) = x$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$2 \sin (t) = x$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{x}{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{x}{2}$

ステップ 3.2.1.2

$\sin (t)$ を $1$ で割ります。

$\sin (t) = \frac{x}{2}$

ステップ 4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $t$ を取り出します。

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

ステップ 5

方程式の中の $t$ を $y$ で置き換え、 $x$ について方程式を得ます。

$y = 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$

ステップ 6

括弧を削除します。

$y = 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$

ステップ 7

$2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ を簡約します。

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ステップ 7.1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 7.1.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{x}{2})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ は $\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ です。

$y = 2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

ステップ 7.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

ステップ 7.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{x}{2}$ です。

$y = 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

ステップ 7.3

項を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = 2 \sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

ステップ 7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})}$

ステップ 7.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

ステップ 7.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}}$

ステップ 7.3.5

$\frac{2 + x}{2}$ に $\frac{2 - x}{2}$ をかけます。

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

ステップ 7.3.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}$

ステップ 7.4

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 7.4.1

$(2 + x) (2 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

ステップ 7.4.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 7.4.3

分数 $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = 2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

ステップ 7.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = 2 (\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)})$

ステップ 7.6

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ をまとめます。

$y = 2 \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

ステップ 7.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.7.1

共通因数を約分します。

$y = 2 \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

ステップ 7.7.2

式を書き換えます。

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

微分積分学準備 例

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