微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 1$

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 2$

$m = 1$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

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ステップ 6.1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 6.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{x - 1}$

ステップ 6.1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 6.1.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x - 1}$

ステップ 6.1.1.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

ステップ 6.1.2

${(x - 1)}^{2}$ と $x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

$x - 1$ を ${(x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) \cdot 1}$

ステップ 6.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) \cdot 1}$

ステップ 6.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x - 1}{1}$

ステップ 6.1.2.2.4

$x - 1$ を $1$ で割ります。

$x - 1$

ステップ 6.2

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x - 1$

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x - 1$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例