微分積分学準備例

$2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 3 = 0$

ステップ 1

正の根の可能な数を求めるために、係数の符号を見て、係数の符号が正から負、負から正に変化した回数を数えます。

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 3$

ステップ 2

高次の項から低次の項へ $4$ 符号の反転があるので、最大でも $4$ の正の根があります（デカルトの符号法則）。正の根の他の数は、根 $(4 - 2)$ の対を引くことで求めます。

正根： $4$ , $2$ , or $0$

ステップ 3

負の根の可能な数を求めるために、 $x$ を $- x$ に置き換えて符号の比較を繰り返します。

$f (- x) = 2 {(- x)}^{4} - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

ステップ 4.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- x) = 2 (1 x^{4}) - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

ステップ 4.3

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = 2 x^{4} - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

ステップ 4.4

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = 2 x^{4} - ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

ステップ 4.5

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1

${(- 1)}^{3}$ を移動させます。

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

ステップ 4.5.2

${(- 1)}^{3}$ に $- 1$ をかけます。

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ステップ 4.5.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

ステップ 4.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

ステップ 4.5.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

ステップ 4.6

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- x) = 2 x^{4} + 1 x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

ステップ 4.7

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

ステップ 4.8

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 5 (- x) + 3$

ステップ 4.9

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 (1 x^{2}) - 5 (- x) + 3$

ステップ 4.10

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} - 5 (- x) + 3$

ステップ 4.11

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3$

ステップ 5

高次の項から低次の項へ $0$ 符号の反転があるので、最大でも $0$ の負の根があります（デカルトの符号法則）。

負の根： $0$

ステップ 6

正根の可能な数は $4$ , $2$ , or $0$ で、負根の可能な数は $0$ です。

正根： $4$ , $2$ , or $0$

負の根： $0$

微分積分学準備 例

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