微分積分学準備例

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 0, x = 3$

ステップ 2

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $0$ 、 $\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $0$ としているので、 $x = 0$ は垂直漸近線です。

$x = 0$

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 4$

$m = 2$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 81}{x^{2} - 3 x}$

ステップ 6.1.1.2

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 9^{2}}{x^{2} - 3 x}$

ステップ 6.1.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 9$ です。

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 9)}{x^{2} - 3 x}$

ステップ 6.1.1.4

簡約します。

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ステップ 6.1.1.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})}{x^{2} - 3 x}$

ステップ 6.1.1.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 3 x}$

ステップ 6.1.2

項を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

$x$ を $x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.2.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x \cdot x - 3 x}$

ステップ 6.1.2.1.2

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x \cdot x + x \cdot - 3}$

ステップ 6.1.2.1.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x (x - 3)}$

ステップ 6.1.2.2

$x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x (x - 3)}$

ステップ 6.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3)}{x}$

ステップ 6.2

$(x^{2} + 9) (x + 3)$ を展開します。

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ステップ 6.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (x + 3) + 9 (x + 3)}{x}$

ステップ 6.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 (x + 3)}{x}$

ステップ 6.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

ステップ 6.2.4

$x^{2}$ と $3$ を並べ替えます。

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

ステップ 6.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

ステップ 6.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2 + 1} + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

ステップ 6.2.7

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

ステップ 6.2.8

$9$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 27}{x}$

ステップ 6.3

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$27$

ステップ 6.4

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$

ステップ 6.5

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	+	$0$

ステップ 6.6

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$

ステップ 6.7

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$

ステップ 6.8

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$

ステップ 6.9

被除数 $3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$

ステップ 6.10

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$0$

ステップ 6.11

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$

ステップ 6.12

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$

ステップ 6.13

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$

ステップ 6.14

被除数 $9 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$

ステップ 6.15

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$
							+	$9 x$	+	$0$

ステップ 6.16

式は被除数から引く必要があるので、 $9 x + 0$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$
							-	$9 x$	-	$0$

ステップ 6.17

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$
							-	$9 x$	-	$0$
									+	$27$

ステップ 6.18

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x^{2} + 3 x + 9 + \frac{27}{x}$

ステップ 6.19

解を多項式の部分と余りに分割します。

$x^{2} + 3 x + 9 + \frac{27 x - 81}{x^{2} - 3 x}$

ステップ 6.20

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x^{2} + 3 x + 9$

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x^{2} + 3 x + 9$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例