微分積分学準備例

$f (x) = \frac{4 x - 3}{3 x + 1}$

ステップ 1

$f (x) = 4 x - 3$ および $g (x) = 3 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 3] - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{(3 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(3 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{(3 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(3 x + 1) (4 + 0) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(3 x + 1) \cdot 4 - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$4$ を $3 x + 1$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot (3 x + 1) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7

総和則では、 $3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.10

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.11

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.12

式を簡約します。

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ステップ 2.12.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.12.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 (3 x + 1) - 3 (4 x - 3)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x - 3)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.1.1

$4 (3 x)$ と $- 3 (4 x)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{3 \cdot 4 x + 4 \cdot 1 - 3 \cdot 4 x - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$3 \cdot 4 x$ から $3 \cdot 4 x$ を引きます。

$\frac{4 \cdot 1 + 0 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

$4 \cdot 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 \cdot 1 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{4 + 9}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$4$ と $9$ をたし算します。

$\frac{13}{{(3 x + 1)}^{2}}$

微分積分学準備 例

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