微分積分学準備例

$x^{2} + y^{2} - 3 x + 8 y = 20$

ステップ 1

$x^{2} - 3 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

ステップ 1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$d = \frac{- 3}{2}$

ステップ 1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{3}{2}$

ステップ 1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{9}{4}$

ステップ 1.4.2.2

$0$ から $\frac{9}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{9}{4}$

ステップ 1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ に代入します。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

ステップ 2

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ を方程式 $x^{2} + y^{2} - 3 x + 8 y = 20$ の中の $x^{2} - 3 x$ に代入します。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y^{2} + 8 y = 20$

ステップ 3

両辺に $\frac{9}{4}$ を加えて、 $- \frac{9}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} + 8 y = 20 + \frac{9}{4}$

ステップ 4

$y^{2} + 8 y$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

ステップ 4.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 4.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

ステップ 4.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{1}$

ステップ 4.3.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$d = 4$

ステップ 4.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{4}$

ステップ 4.4.2.1.3

$64$ を $4$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

ステップ 4.4.2.1.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$e = 0 - 16$

ステップ 4.4.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$e = - 16$

ステップ 4.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y + 4)}^{2} - 16$ に代入します。

${(y + 4)}^{2} - 16$

ステップ 5

${(y + 4)}^{2} - 16$ を方程式 $x^{2} + y^{2} - 3 x + 8 y = 20$ の中の $y^{2} + 8 y$ に代入します。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} - 16 = 20 + \frac{9}{4}$

ステップ 6

両辺に $16$ を加えて、 $- 16$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 20 + \frac{9}{4} + 16$

ステップ 7

$20 + \frac{9}{4} + 16$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$20$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20}{1} + \frac{9}{4} + 16$

ステップ 7.1.2

$\frac{20}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4} + 16$

ステップ 7.1.3

$\frac{20}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + 16$

ステップ 7.1.4

$16$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + \frac{16}{1}$

ステップ 7.1.5

$\frac{16}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.1.6

$\frac{16}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2

公分母の分子をまとめます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4 + 9 + 16 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$20$ に $4$ をかけます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{80 + 9 + 16 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.3.2

$16$ に $4$ をかけます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{80 + 9 + 64}{4}$

ステップ 7.4

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$80$ と $9$ をたし算します。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{89 + 64}{4}$

ステップ 7.4.2

$89$ と $64$ をたし算します。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{153}{4}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例