微分積分学準備例

${(2 x - 1)}^{5}$

ステップ 1

パスカルの三角形はこのように表すことができます：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

三角形は、指数 $n$ をとり $1$ を足すと ${(a + b)}^{n}$ の展開の係数を計算するために利用することができます。係数は三角形の線 $n + 1$ に対応します。 ${(2 x - 1)}^{5}$ に対して $n = 5$ なので、展開の係数は線 $6$ に対応します。

ステップ 2

展開は法則 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ に従います。三角形からの係数の値は $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ です。

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

ステップ 3

$a$ $2 x$ と $b$ $- 1$ の実価を式に代入します。

$1 {(2 x)}^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

${(2 x)}^{5}$ に $1$ をかけます。

${(2 x)}^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.2

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$2^{5} x^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.3

$2$ を $5$ 乗します。

$32 x^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$32 x^{5} \cdot 1 + 5 {(2 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.5

$32$ に $1$ をかけます。

$32 x^{5} + 5 {(2 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.6

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$32 x^{5} + 5 (2^{4} x^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.7

$2$ を $4$ 乗します。

$32 x^{5} + 5 (16 x^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.8

$16$ に $5$ をかけます。

$32 x^{5} + 80 x^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.9

指数を求めます。

$32 x^{5} + 80 x^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.10

$- 1$ に $80$ をかけます。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.11

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 10 (2^{3} x^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.12

$2$ を $3$ 乗します。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 10 (8 x^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.13

$8$ に $10$ をかけます。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.14

$- 1$ を $2$ 乗します。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} \cdot 1 + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.15

$80$ に $1$ をかけます。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.16

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} + 10 (2^{2} x^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.17

$2$ を $2$ 乗します。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} + 10 (4 x^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.18

$4$ に $10$ をかけます。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} + 40 x^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.19

$- 1$ を $3$ 乗します。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} + 40 x^{2} \cdot - 1 + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.20

$- 1$ に $40$ をかけます。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.21

簡約します。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 5 (2 x) {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.22

$2$ に $5$ をかけます。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.23

$- 1$ を $4$ 乗します。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x \cdot 1 + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.24

$10$ に $1$ をかけます。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.25

${(2 x)}^{0}$ に $1$ をかけます。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x + {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.26

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x + 2^{0} x^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.27

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x + 1 x^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.28

$x^{0}$ に $1$ をかけます。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x + x^{0} {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.29

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x + 1 {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.30

${(- 1)}^{5}$ に $1$ をかけます。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x + {(- 1)}^{5}$

ステップ 4.31

$- 1$ を $5$ 乗します。

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x - 1$

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