微分積分学準備例

$6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y - 426 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $426$ を足します。

$6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$

ステップ 2

$6 x^{2} - 12 x$ の平方完成。

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ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 6$

$b = - 12$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 6}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$2$ を $- 12$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 6}$

ステップ 2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 6$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (6)}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 6}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 6}{6}$

ステップ 2.3.2.2

$- 6$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$6$ を $- 6$ で因数分解します。

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6}$

ステップ 2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 (1)}$

ステップ 2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{1}$

ステップ 2.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$d = - 1$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 6}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 6}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $6$ をかけます。

$e = 0 - \frac{144}{24}$

ステップ 2.4.2.1.3

$144$ を $24$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 6$

ステップ 2.4.2.1.4

$- 1$ に $6$ をかけます。

$e = 0 - 6$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $6$ を引きます。

$e = - 6$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $6 {(x - 1)}^{2} - 6$ に代入します。

$6 {(x - 1)}^{2} - 6$

ステップ 3

$6 {(x - 1)}^{2} - 6$ を方程式 $6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$ の中の $6 x^{2} - 12 x$ に代入します。

$6 {(x - 1)}^{2} - 6 + 54 y^{2} + 108 y = 426$

ステップ 4

両辺に $6$ を加えて、 $- 6$ を方程式の右辺に移動させます。

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 y^{2} + 108 y = 426 + 6$

ステップ 5

$54 y^{2} + 108 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 54$

$b = 108$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{108}{2 \cdot 54}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$108$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$2$ を $108$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 54}$

ステップ 5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 54$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 (54)}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 54}$

ステップ 5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{54}{54}$

ステップ 5.3.2.2

$54$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{54}{54}$

ステップ 5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{108^{2}}{4 \cdot 54}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$108$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{11664}{4 \cdot 54}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $54$ をかけます。

$e = 0 - \frac{11664}{216}$

ステップ 5.4.2.1.3

$11664$ を $216$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 54$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $54$ をかけます。

$e = 0 - 54$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $54$ を引きます。

$e = - 54$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $54 {(y + 1)}^{2} - 54$ に代入します。

$54 {(y + 1)}^{2} - 54$

ステップ 6

$54 {(y + 1)}^{2} - 54$ を方程式 $6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$ の中の $54 y^{2} + 108 y$ に代入します。

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} - 54 = 426 + 6$

ステップ 7

両辺に $54$ を加えて、 $- 54$ を方程式の右辺に移動させます。

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 426 + 6 + 54$

ステップ 8

$426 + 6 + 54$ を簡約します。

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ステップ 8.1

$426$ と $6$ をたし算します。

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 432 + 54$

ステップ 8.2

$432$ と $54$ をたし算します。

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 486$

ステップ 9

各項を $486$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{6 {(x - 1)}^{2}}{486} + \frac{54 {(y + 1)}^{2}}{486} = \frac{486}{486}$

ステップ 10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{81} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1$

ステップ 11

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 12

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 9$

$b = 3$

$k = - 1$

$h = 1$

ステップ 13

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 14

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} - {(3)}^{2}}}{9}$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

分子を簡約します。

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ステップ 15.1.1

$9$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{81 - 3^{2}}}{9}$

ステップ 15.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{81 - 1 \cdot 9}}{9}$

ステップ 15.1.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{\sqrt{81 - 9}}{9}$

ステップ 15.1.4

$81$ から $9$ を引きます。

$\frac{\sqrt{72}}{9}$

ステップ 15.1.5

$72$ を $6^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 15.1.5.1

$36$ を $72$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{36 (2)}}{9}$

ステップ 15.1.5.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{6^{2} \cdot 2}}{9}$

ステップ 15.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{6 \sqrt{2}}{9}$

ステップ 15.2

$6$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.1

$3$ を $6 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{9}$

ステップ 15.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 (3)}$

ステップ 15.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

ステップ 15.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

10進法形式：

$0.94280904 \dots$

ステップ 17

微分積分学準備 例

微分積分学準備例