微分積分学準備例

$p (x) = x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$

ステップ 1

$x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - x^{3} - 2 x - 4 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

有理根検定を用いて $x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 2.1.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 4$

ステップ 2.1.1.3.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 - {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 4$

ステップ 2.1.1.3.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1 - - 1 - 2 \cdot - 1 - 4$

ステップ 2.1.1.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 1 - 2 \cdot - 1 - 4$

ステップ 2.1.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 - 2 \cdot - 1 - 4$

ステップ 2.1.1.3.6

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 + 2 - 4$

ステップ 2.1.1.3.7

$2$ と $2$ をたし算します。

$4 - 4$

ステップ 2.1.1.3.8

$4$ から $4$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - x^{3} - 2 x - 4}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.5

$x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

ステップ 2.1.1.5.2

被除数 $x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

ステップ 2.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

ステップ 2.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{4} + x^{3}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$

ステップ 2.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$2 x^{3}$

ステップ 2.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.7

被除数 $- 2 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x^{3} - 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

ステップ 2.1.1.5.12

被除数 $2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

ステップ 2.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

ステップ 2.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{2} + 2 x$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

ステップ 2.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

ステップ 2.1.1.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

ステップ 2.1.1.5.17

被除数 $- 4 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

ステップ 2.1.1.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
									-	$4 x$	-	$4$
									-	$4 x$	-	$4$

ステップ 2.1.1.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x - 4$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

ステップ 2.1.1.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

ステップ 2.1.1.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$

ステップ 2.1.1.6

$x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4) = 0$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 1) ((x^{3} - 2 x^{2}) + 2 x - 4) = 0$

ステップ 2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 1) (x^{2} (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

ステップ 2.1.3

最大公約数 $x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

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ステップ 2.1.3.1

最大公約数 $x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 1) ((x - 2) (x^{2} + 2)) = 0$

ステップ 2.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) (x - 2) (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

ステップ 2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.5

$x^{2} + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x^{2} = - 2$

ステップ 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

ステップ 2.5.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

ステップ 2.5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 2.6

最終解は $(x + 1) (x - 2) (x^{2} + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 2, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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