微分積分学準備例

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} + 46 x^{2} + 98 x - 147$

ステップ 1

$x^{4} + 2 x^{3} + 46 x^{2} + 98 x - 147$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} + 2 x^{3} + 46 x^{2} + 98 x - 147 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$2 x^{3} + 98 x + x^{4} + 46 x^{2} - 147 = 0$

ステップ 2.1.2

$2 x$ を $2 x^{3} + 98 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$2 x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x (x^{2}) + 98 x + x^{4} + 46 x^{2} - 147 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$2 x$ を $98 x$ で因数分解します。

$2 x (x^{2}) + 2 x (49) + x^{4} + 46 x^{2} - 147 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$2 x$ を $2 x (x^{2}) + 2 x (49)$ で因数分解します。

$2 x (x^{2} + 49) + x^{4} + 46 x^{2} - 147 = 0$

ステップ 2.1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$2 x (x^{2} + 49) + {(x^{2})}^{2} + 46 x^{2} - 147 = 0$

ステップ 2.1.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$2 x (x^{2} + 49) + u^{2} + 46 u - 147 = 0$

ステップ 2.1.5

たすき掛けを利用して $u^{2} + 46 u - 147$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 147$ で、その和が $46$ です。

$- 3, 49$

ステップ 2.1.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$2 x (x^{2} + 49) + (u - 3) (u + 49) = 0$

ステップ 2.1.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$2 x (x^{2} + 49) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 49) = 0$

ステップ 2.1.7

$x^{2} + 49$ を $2 x (x^{2} + 49) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 49)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.7.1

$x^{2} + 49$ を $2 x (x^{2} + 49)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 49) (2 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 49) = 0$

ステップ 2.1.7.2

$x^{2} + 49$ を $(x^{2} - 3) (x^{2} + 49)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 49) (2 x) + (x^{2} + 49) (x^{2} - 3) = 0$

ステップ 2.1.7.3

$x^{2} + 49$ を $(x^{2} + 49) (2 x) + (x^{2} + 49) (x^{2} - 3)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 49) (2 x + x^{2} - 3) = 0$

ステップ 2.1.8

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x^{2} + 49) (2 u + u^{2} - 3) = 0$

ステップ 2.1.9

たすき掛けを利用して $2 u + u^{2} - 3$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $2$ です。

$- 1, 3$

ステップ 2.1.9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x^{2} + 49) ((u - 1) (u + 3)) = 0$

ステップ 2.1.10

因数分解。

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ステップ 2.1.10.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x^{2} + 49) ((x - 1) (x + 3)) = 0$

ステップ 2.1.10.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 49) (x - 1) (x + 3) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} + 49 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 2.3

$x^{2} + 49$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} + 49$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 49 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} + 49 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $49$ を引きます。

$x^{2} = - 49$

ステップ 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

ステップ 2.3.2.3

$\pm \sqrt{- 49}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

$- 49$ を $- 1 (49)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

ステップ 2.3.2.3.2

$\sqrt{- 1 (49)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

ステップ 2.3.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

ステップ 2.3.2.3.4

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

ステップ 2.3.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 7$

ステップ 2.3.2.3.6

$7$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 7 i$

ステップ 2.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 7 i$

ステップ 2.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 7 i$

ステップ 2.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 7 i, - 7 i$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.6

最終解は $(x^{2} + 49) (x - 1) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 7 i, - 7 i, 1, - 3$

ステップ 3

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