微分積分学準備例

$f (x) = x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48$

ステップ 1

$x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$- 7 x^{3} + 28 x + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 7 x$ を $- 7 x^{3} + 28 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 7 x$ を $- 7 x^{3}$ で因数分解します。

$- 7 x \cdot x^{2} + 28 x + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$- 7 x$ を $28 x$ で因数分解します。

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 4 + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- 7 x$ を $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 4)$ で因数分解します。

$- 7 x (x^{2} - 4) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- 7 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.4

因数分解。

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ステップ 2.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$- 7 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.6

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} + 8 u - 48 = 0$

ステップ 2.1.7

たすき掛けを利用して $u^{2} + 8 u - 48$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 48$ で、その和が $8$ です。

$- 4, 12$

ステップ 2.1.7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 12) = 0$

ステップ 2.1.8

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.9

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.10

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.11

$(x + 2) (x - 2)$ を $- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.11.1

$(x + 2) (x - 2)$ を $- 7 x (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) (- 7 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.11.2

$(x + 2) (x - 2)$ を $(x + 2) (x - 2) (- 7 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) (- 7 x + x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.12

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x + 2) (x - 2) (- 7 u + u^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.13

たすき掛けを利用して $- 7 u + u^{2} + 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.13.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $- 7$ です。

$- 4, - 3$

ステップ 2.1.13.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 2) (x - 2) ((u - 4) (u - 3)) = 0$

ステップ 2.1.14

因数分解。

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ステップ 2.1.14.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x + 2) (x - 2) ((x - 4) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.1.14.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 2) (x - 2) (x - 4) (x - 3) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.3

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.7

最終解は $(x + 2) (x - 2) (x - 4) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2, 4, 3$

ステップ 3

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